5.10. Круговая щель в упругой среде.

Представляя коэффициенты уравнений (5.9.2) при малых степенными рядами

приходим к системе уравнений

которой можно удовлетворить, разыскивая неизвестные к, к также в форме рядов

в которых

Случаю круговой щели в упругой среде соответствует Решение оказывается не зависящим от так как наличие такой щели не изменяет напряженного состояния, создаваемого нагружением, параллельным плоскости щели (корректирующий тензор будет нулем).

При найденных значениях постоянных к, к корректирующий вектор перемещения (5.9.3) определяется его проекциями на направления осей цилиндрической системы координат:

причем цилиндрические координаты выражаются через сфероидальные (координаты сжатого эллипсоида) по формулам

Это позволяет записать соотношения (5.10.3) также в виде

Известно, что значениям соответствует часть плоскости вне круга внутри этого круга. На самой окружности Поэтому перемещением

в плоскости щели оказывается непрерывной функцией равной

Для вычисления напряжений используются формулы дифференцирования

Касательное напряжение оказывается равным нулю на всей плоскости щели:

Далее находим

причем слагаемые, обращающиеся в нуль на плоскости (при s = 0 или при ), не выписаны; они остаются непрерывными при приближении в плоскости к фокальному кругу

Получаем на плоскости

и при приближении к фокальному кругу со стороны (то есть ) нормальное напряжение испытывает разрыв непрерывности

Рассмотренное здесь напряженное состояние реализуется в упругом полупространстве, покрытом снабженной круговым вырезом твердой гладкой плитой; по кругу

распределено давление а плита не допускает нормального перемещения не препятствуя перемещениям в ее плоскости.

Из вышеприведенных формул легко получить также распределения напряжений на плоскости