4.2. Интегральное преобразование Меллина в задаче о клине.

Для сокращения записей далее рассматривается лишь нагружение клина нормальными к граням поверхностными силами, причем по отдельности исследуются случаи симметричного и кососимметричного нагружений (задачи :

Бигармонические функции напряжений, удовлетворяющие условию отсутствия касательных напряжений на гранях клина, представляются в виде

где некоторый линейный размер. Нормальные пряжения определяются по формулам

Напомним, что трансформантой Меллина функции заданной на интервале называется интеграл

где некоторое комплексное число. В предположении, что удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном промежутке, принадлежащем интервалу имеет место формальное представление

где параллельная мнимой оси плоскости прямая. Не входя в подробности, отметим, что если интеграл

сходится, то прямая проводится в полосе левее прямой но справа от ближайшей к особой точки трансформанты значение интеграла (4.2.5) не зависит от выбора с в этом интервале

Теперь, сославшись на представления (4.2.2), зададим в соответствии с (4.2.5) функции напряжений в виде

где — их трансформанты Меллина:

Трансформанты Меллина функций по (4.2.3) равны так что

Вместе с тем по (4.2.1) и (4.2.5)

где трансформанты функций равные по (4.2.4)

Теперь по (4.2.1) имеем

так что выражения функций напряжений, удовлетворяющие краевым условиям, записываются в виде

Предполагается, что растут при не быстрее, чем тогда интеграл (4.2.6) будет сходящимся при а прямая проводится в полосе , где корень функции расположенный слева от —1, с наибольшей среди этих корней вещественной частью.

Вычисление интегралов (4.2.13) производится по отдельности при . В первом случае дополним слева прямую

полукругом радиуса в предположении применимости известной леммы Жордана интеграл по полукругу при стремится к нулю и вычисляемые интегралы равны произведениям на сумму вычетов по всем полюсам подынтегральных функций, расположенным слева от Из этого же рассуждения при следует равенство интегралов произведению суммы вычетов по всем полюсам, расположенным справа от на (обходимая область теперь остается справа).

Особый интерес представляют слагаемые этих сумм, соответствующие полюсам справа от Введя обозначения

по правилу Лопиталя имеем

Вспомнив (4.2.11), получаем равенства

где проекции на оси главного вектора поверхностных сил на гранях клина. Теперь, отбросив несущественные линейные по слагаемые, получаем

в полном соответствии с формулами (4.1.7). Из этих соотношений следует, что при отсутствии в суммах слагаемых, растущих при быстрее, чем напряженное состояние в клине при такое же, как при нагружении его в вершине силой

Аналогично имеем

и поэтому тогда как при условии, что

имеем

Здесь по (4.2.11)

представляет главный момент относительно вершины клина распределенных по его граням поверхностных сил. При корень функции будет двукратным, и нет нужды приводить результат громоздкого вычисления в этом специальном случае.

Как будет показано в п. 4.3, решение может быть непосредственно получено из рассмотрения задачи о нагружении клина сосредоточенным в его вершине моментом . Из сказанного здесь следует, что оно представляет главный член выражения на бесконечности при отсутствии в полосе корней функции Доказывается, что это имеет место при тогда как при функция приобретает еще один простой вещественный отрицательный корень

Соответствующее ему слагаемое функции напряжений

представляет главный член разложения функции напряжений. Его выражение зависит от распределения поверхностных сил на гранях клина и не может быть определено только через изгибающий момент Через в формуле (4.2.23) обозначен интеграл