5.3. Растяжение стержня.
Как указывалось выше, наличие продольных поверхностных сил
создает нормальное напряжение
и касательные напряжения
определяемые системой уравнений
Нетрудно убедиться, что всякое решение уравнений статики (5.3.2), (5.3.4) в объеме и на поверхности тождественно удовлетворяет первым двум интегральным условиям (5.3.5). Действительно, по (5.3.2)
так что по (5.3.4) и (5.1.4)
Аналогично проверяется второе соотношение (5.3.5); вместе с тем
что соответствует (5.1.3).
Уравнениям статики и зависимостям Бельтрами (5.3.3) можно удовлетворить, полагая
где
функция напряжений, решающая задачу кручения для области
а
— решение уравнения Лапласа, определяемое по краевому условию
где, как выше в
элементарная секториальная площадь. Нетрудно, учитывая (5.1.3), проверить, что так введенная функция
однозначно определена на
так как
Можно представить
в виде суммы трех слагаемых
определяемых решениями краевых задач
Функции
были определены при рассмотрении задачи Сен-Венана [см. (2.1.7) — (2.1.9)] об изгибе силами, причем теперь