5.3. Растяжение стержня.

Как указывалось выше, наличие продольных поверхностных сил создает нормальное напряжение

и касательные напряжения определяемые системой уравнений

Нетрудно убедиться, что всякое решение уравнений статики (5.3.2), (5.3.4) в объеме и на поверхности тождественно удовлетворяет первым двум интегральным условиям (5.3.5). Действительно, по (5.3.2)

так что по (5.3.4) и (5.1.4)

Аналогично проверяется второе соотношение (5.3.5); вместе с тем

что соответствует (5.1.3).

Уравнениям статики и зависимостям Бельтрами (5.3.3) можно удовлетворить, полагая

где функция напряжений, решающая задачу кручения для области

а — решение уравнения Лапласа, определяемое по краевому условию

где, как выше в элементарная секториальная площадь. Нетрудно, учитывая (5.1.3), проверить, что так введенная функция однозначно определена на так как

Можно представить в виде суммы трех слагаемых

определяемых решениями краевых задач

Функции были определены при рассмотрении задачи Сен-Венана [см. (2.1.7) — (2.1.9)] об изгибе силами, причем теперь

роль отходит к краевая задача для ранее не встречалась.

Крутящий момент соответствующий функции напряжений и компонентам функции вычислялся в п. 2.5; он равен по (2.6.2)

где х, у — координаты центра жесткости. Компоненте соответствует крутящий момент, представляемый по формуле (2.5.5) в виде

Остается подчинить выбор постоянной третьему условию (5.3.5); оно сводится к требованию и записывается в виде

Легко находятся перемещения, определяемые по функции

где — гармоническая функция, связанная с условиями Коши — Римана (2.1.9). К этим выражениям надо добавить перемещения, получаемые по формулам (2.2.9), в которых следует принять заменить на а постоянную а — ее значением по (5.3.13).