2.9. Брус с круговой осью, нагруженный по торцам (Головин, 1881).

Рассматривается круговой брус (арка), ограниченный концентрическими окружностями радиусов и отрезками прямых на левом и правом торце. Поверхностные силы на продольных сторонах отсутствуют:

а на правом торце они статически эквивалентны продольной и поперечной силам и изгибающему моменту относительно центра окружностей О:

Рис. 39.

Из уравнений равновесия бруса в целом следует, что система поверхностных сил, которые должны быть распределены по левому торцу, статически эквивалентна силам и моменту определяемым формулами

Растягивающие и поперечные силы положительны, если они создаются положительными нормальными и сответственно касательными напряжениями; положительный изгибающий

момент создается нормальными напряжениями положительными на верхней стороне бруса (рис. 39).

При действии только изгибающего момента интегральным условиям (2.9.2) можно удовлетворить, предположив напряженное состояние в брусе не зависящим от 0. Но общее выражение не зависящей от бигармонической функции напряжений, представляемое суммой, не зависящей от 0 гармонической функции и произведения на такую гармоническую функцию, имеет вид

причем, конечно, постоянную А можно отбросить. Сославшись на (1.10.2), можно записать краевые условия (2.9.1) в виде

Условия (2.9.2) на торце будут

О первом из них можно не заботиться, поскольку выполнены условия (2.9.5), а второе доставляет третье уравнение

Из трех уравнений (2.9.5), (2.9.6) определяются постоянные Получаем

где введено обозначение

Выражение функции напряжений записывается в виде

Функция напряжений в задаче о действии продольной силы разыскивается в форме произведения а поперечной силы — в форме Эти произведения будут бигармоническими функциями, если принять

Напряжения представляются теперь формулами вида

Поэтому краевым условиям (2.9.1) можно удовлетворить, потребовав выполнения только двух соотношений

Тогда

и при выполнении условий (2.9.11) изгибающий момент оказывается тождественно равным нулю.

Обратившись к остающимся условиям (2.9.2), имеем

причем последнее равенство — следствие краевых условий (2.9.11). Итак, недостающее третье уравнение приводимо в обеих задачах к одинаковому виду

Из трех уравнений (2.9.11), (2.9.12) определяются постоянные и функция одновременно решающая обе задачи (о продольной и поперечной силах), представляется в виде

а напряжения оказываются равными

В полярных координатах вектор перемещения по (1.7.7) представляется выражением

где определяется, как указано в п. 1.7.

Очевидное вычисление по этим формулам дает: в первой задаче

и во второй задаче

причем и не выписаны слагаемые, соответствующие перемещению фигуры в ее плоскости как твердого тела.

Конечно, приведенные решения являются строгими в рамках принципа Сен-Венана. Напряженное состояние отличается от найденного локальными возмущениями в области, примыкающей к торцам.