IV.6. Преобразование базиса.
Векторы нового базиса обозначаются 
они связаны линейными соотношениями с векторами исходного базиса
с определителем 
отличным от нуля; обратные соотношения записываются в виде
так что
Формулы, определяющие векторы 
взаимного базиса, получим, сославшись на (IV. 3.3) и (IV. 6.2):
Теперь, представив вектор а через его ковариантные компоненты, имеем
и сравнение с (IV. 6.1) показывает, что эти компоненты преобразуются как базисные векторы, чем объясняется их наименование («ковариантные»). Контравариантные компоненты преобразуются как векторы взаимного базиса:
Подобным же образом получим формулы преобразования компонент тензора:
