5.7. Тепловые напряжения. Плоская деформация.

Предполагается независимость температуры от координаты Тогда, рассматривая случай плоской деформации и обратившись к закону Гука в форме (1.14.2) гл. IV, имеем

Поэтому

и выражения отличных от нуля компонент тензора деформации представляются в виде

и, конечно, сохраняются статические соотношения (1.2.2), выражающие напряжения через функцию напряжений Эри, а следовательно, и формулы Колосова (1.13.2). Однако сама функция напряжений уже не является в общем случае бигармонической, поэтому не имеет места ее представление в форме Гурса; в соотношения Колосова — Мусхелишвили п. 1.14 должно быть внесено дополнительное слагаемое.

Обратившись теперь к зависимостям Бельтрами (1.14.13) гл. IV и учитывая (5.7.2), имеем

Последнее равенство при замене на записывается в виде

и нетрудно проверить, что при этом выполняются и остающиеся зависимости (5.7.4). По (5.7.5) имеем

причем в правую часть аддитивно входит гармоническая функция . В соответствии с п. 1.14 она обозначается

Итак,

Приходим к такому представлению функции напряжений:

причем неопределенному интегралу справа можно приписать какое-либо одно из возможных определений. Формулы Колосова—Мусхелишвили (1.14.4) теперь приобретают вид

Первую формулу (5.7.3) можно представить теперь в виде

Аналогично преобразуется вторая; итак,

Вместе с тем, сославшись на правила дифференцирования (1.12.3), имеем

и можно принять

и, далее,

Нетрудно проверить, что выполнено также и третье соотношение (5.7.3); по (5.7.9) имеем

причем величина в скобках — тождественный нуль, что и требуется. Конечно, формула (5.7.10) определяет вектор перемещения с точностью до плоского перемещения твердой фигуры.