5.7. Тепловые напряжения. Плоская деформация.
Предполагается независимость температуры
от координаты
Тогда, рассматривая случай плоской деформации
и обратившись к закону Гука в форме (1.14.2) гл. IV, имеем
Поэтому
и выражения отличных от нуля компонент тензора деформации представляются в виде
и, конечно, сохраняются статические соотношения (1.2.2), выражающие напряжения через функцию напряжений Эри, а следовательно, и формулы Колосова (1.13.2). Однако сама функция напряжений уже не является в общем случае бигармонической, поэтому не имеет места ее представление в форме Гурса; в соотношения Колосова — Мусхелишвили п. 1.14 должно быть внесено дополнительное слагаемое.
Обратившись теперь к зависимостям Бельтрами (1.14.13) гл. IV и учитывая (5.7.2), имеем
Последнее равенство при замене
на
записывается в виде
и нетрудно проверить, что при этом выполняются и остающиеся зависимости (5.7.4). По (5.7.5) имеем
причем в правую часть аддитивно входит гармоническая функция
. В соответствии с п. 1.14 она обозначается
Итак,
Приходим к такому представлению функции напряжений:
причем неопределенному интегралу справа можно приписать какое-либо одно из возможных определений. Формулы Колосова—Мусхелишвили (1.14.4) теперь приобретают вид
Первую формулу (5.7.3) можно представить теперь в виде
Аналогично преобразуется вторая; итак,
Вместе с тем, сославшись на правила дифференцирования (1.12.3), имеем
и можно принять
и, далее,
Нетрудно проверить, что выполнено также и третье соотношение (5.7.3); по (5.7.9) имеем
причем величина в скобках — тождественный нуль, что и требуется. Конечно, формула (5.7.10) определяет вектор перемещения с точностью до плоского перемещения твердой фигуры.