5.4. Стационарность дополнительной работы.

Рассматривается статически возможное состояние равновесия нелинейноупругого тела, близкое к его истинному состоянию равновесия под действием тех же «мертвых» массовых и поверхностных сил.

Тогда в варьированном состоянии уравнения равновесия в объеме и на поверхности записываются в виде

так как по условию в объеме тела, на части поверхности, на которой заданы поверхностные силы Ко, значения сил в начальном состоянии тела). На о, задан вектор Здесь в варьировалном напряженном состоянии возникают добавочные (неизвестные) реактивные силы создаваемые приспособлениями, осуществляющими задание предписанного вектора По (5.3.1), (5.4.1) имеем

Учитывая эти соотношения по (5.3.6) и (5.3.7), имеем

Знак вариации вынесен за знак интеграла, так как вектор на задан.

Пришли к соотношению

выражающему принцип стационарности дополнительной работы: фактически реализуемое равновесное состояние в нелинейноупругом теле отличается от любого статически возможного тем, что в нем величина

называемая дополнительной работой, имеет стационарное значение.

В фактически реализуемом напряженном состоянии обеспечивается сплошность среды — вычисляемый с помощью формул (5.3.8) по тензору тензор должен быть интегрируем, т. е. должен действительно представлять градиент вектора По (II. 6.7) отсюда следует, что ротор этого тензора должен быть равным нулю

Это условие эквивалентно принципу стационарности дополнительной работы, иными словами, оно представляет уравнения Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала при условиях (5.4.2). Это доказывается способом, указанным в гл. IV. Введя лагранжев вектор X, имеем

и по принципу стационарности дополнительной работы

Вариацию при надлежащем выборе X можно считать в объеме и на о, произвольной, поэтому тензор С будет в градиентом некоторого вектора X и сам этот вектор равен на Пришли к соотношению (5.4.6), выражающему условие сплошности, записанное через тензор Пиола