3.3. Применение теоремы взаимности.
В качестве первого состояния задается обычно весьма простое напряженное состояние. Теорема взаимности позволяет по заданным внешним силам второго состояния (они, конечно, должны представлять статически эквивалентную нулю систему сил) определять некоторые осреднепные величины, относящиеся к этому состоянию.
Зададим вектор перемещения первого состояния афинным преобразованием:
где 
постоянный тензор второго ранга. Тогда 
так что, сославшись еще на (1.2.13) гл. II, имеем
и, далее,
По теореме взаимности (отбросив штрихи над величинами второго состояния), получим
Тензор 
в левой части можно заменить на 
так как
где 
сопутствующий тензору 
вектор 
, а величина в скобках — равный нулю главный момент внешних сил (второго состояния). Вместе с тем
Обозначая индексом 
среднее значение величины в объеме, имеем
Приходим к равенству
преобразуемому с помощью тождества
к виду
Полагая здесь 
имеем 
и т. д. Приходим к следующему выражению среднего объемного расширения:
Подстановка в (3.3.6) приводит теперь к соотношению
Например, при 
придем к выражению среднего относительного удлинения
тогда как, полагая 
получим среднее значение сдвига
Отсюда теперь легко найти средние значения напряжений:
и т. д. Эти же выражения были получены в п. 4.3 гл. I с помощью только уравнений статики и для любой сплошной среды, а не гукова тела. По ним, основываясь на законе Гука, можно перейти к приведенным выше формулам для средних значений компонент тензора деформации в линейно-упругом теле.
Задавшись выражениями вектора перемещения и в виде квадратичных форм координат и используя теорему взаимности, можно получить этим же путем формулы п. 4.4 гл. I для моментов напряжений первого порядка.
В задание компонент деформации 
в виде квадратичных форм координат войдет 36 коэффициентов, связанных шестью условиями совместности деформаций (2.1.5) гл. II. Использование теоремы взаимности в форме (3.1.5)
приводит к тридцати уравнениям (по числу независимых коэффициентов этих форм). Число же неизвестных моментов напряжений второго порядка
равно тридцати шести. Этот же результат был получен в п. 4.10 гл. 1.
