3.14. Приближенное решение задачи кручения.

Далее рассмотрены два примера применения способа Галеркииа к решению задач кручения стержней прямоугольного и трапецеидального сечений.

Для случая односвязной области выражение вариации минимизируемого функционала I будет иметь вид

1. Прямоугольник. Следуя видоизменению способа Галеркина, предложенному Л. В. Канторовичем, примем

чем удовлетворены краевые условия на сторонах прямоугольника. Здесь назначена форма зависимости искомого решения от координаты у, а его зависимость от х определится условием (3.14.1). Можно ожидать, что при это решение будет достаточно точным, так как в нем заключено решение для бесконечной полосы, корректируемое учетом краевых условий при

Теперь

и условие (3.14,1) приводится к виду

Выполнив интегрирование по у и отбросив постоянный множитель, придем к соотношению

Оно должно выполняться при произвольном выборе поэтому

Решением этого дифференциального уравнения при краевом условии (3.14.2) является

Жесткость при кручении оказывается равной

В случае квадрата получаем совпадающее с точностью до трех знаков с точным решением п. 3.8 значение Меньшая точность достигается для значения максимального касательного напряжения — ошибка в случае квадрата равна примерно 5%. Это — общее свойство всех приближенных методов. Даваемые ими значения интегральных характеристик, естественно, более точны, чем точечные значения производных искомой функции. Просто оценивается объем холма мембраны, труднее знать подробности его рельефа.

Конечно, предложенное решение можно уточнить, задавая зависящей от нескольких разыскиваемых функций, например полагая

Для определения функций приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с указанными краевыми

условиями; число уравнений системы равно числу неизвестных функций. Вычисление, естественно, усложняется.

В способе Л. В. Канторовича краевая задача для уравнения в частных производных (Пуассона) заменена краевой задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но можно вообще избегнуть решения дифференциальных уравнений, а свести задачу к линейной алгебраической системе уравнений, задавая целиком форму решения и распоряжаясь неизвестными введенными в него постоянными. Например, полагаем для прямоугольника

Тогда

и к упомянутой системе линейных уравнений приходим, используя произвольность вариаций

Так, для квадрата, сохранив лишь одну постоянную имеем

и после вычисления (отбросив постоянный множитель) приходим к соотношению

так что вследствие произвольности вариации получаем

с ошибкой для геометрической жесткости для наибольшего касательного напряжения Удержав два коэффициента получили бы для их определения систему двух линейных уравнений; ошибки в определении жесткости и максимального касательного напряжения для такого решения

составляют соответственно

Применение способа Л. В. Канторовича дало почти такую же точность уже в первом приближении. Этого можно было

ожидать, так как решение (минимум функционала) разыскивалось в более широком классе функций: функция не назначалась наперед, а определялась решением построенной для нее вариационной задачи.

2. Трапецеидальное сечение. Конечно, успешная применимость способа Канторовича связана с возможностью проинтегрировать получающееся дифференциальное уравнение. Еще одним таким примером может служить случай трапецеидального сечения. Оно ограничено прямыми

Краевые условия удовлетворяются, если выбрать

Вычисление дает (после интегрирования по

и это приводит к дифференциальному уравнению типа Эйлера, интегрируемому в квадратурах:

Его решение записывается в виде

где корни характеристического уравнения

Для равностороннего треугольника получаем и второй корень надо отбросить, так как функция должна оставаться конечной; вместе с этим отпадает также первое краевое условие (в вершине треугольника). Приходим к решению

это точное решение [ср. с (3.9.2)]; b - высота треугольника.

Случаю равнобедренного прямоугольного треугольника соответствует дифференциальное уравнение

Ему соответствующее характеристическое уравнение имеет корень и отбрасываемый корень а частное решение разыскивается в виде

Рис. 33.

Получаем

Вычисляемая по этому решению геометрическая жесткость оказывается равной

тогда как точное решение Лейбензон), определяемое рядом

приводит к такому же числовому результату. Максимальное касательное напряжение в середине гипотенузы будет

Тгаах

тогда как в точном решении числовой множитель равен 0,652.

Можно убедиться, проведя более тщательные вычисления, что определенные по вариации значения геометрической жесткости дают оценку этой величины снизу, как и должно быть по сказанному в п. 3.13.