2.4. Классификация задач Сен-Венана.
Решение задачи Сен-Венана в ее общей постановке определяется заданием шести величин — трех проекций
силы и трех моментов
Каждая из шести частных задач соответствует действию только одного из этих силовых факторов. Три случая — действия осевой силы
и моментов
— элементарны, так как эти действия не создают касательных напряжений, вследствие чего отпадает рассмотрение краевой задачи.
Решение задачи растяжения осевой силой дается формулами
содержащимися в общих соотношениях (1.4.6), (2.2.9). Эти же соотношения и (2.3.6) дают решение задачи об изгибе парой
и парой
В задаче о кручении отличен от нуля только крутящий момент
Нормальное напряжение о, отсутствует, а касательные напряжения по (2.1.2) выражаются через функцию напряжений
определяемую уравнением Пуассона (2.1.3) при краевом условии (2.1.4):
причем постоянная а — угол закручивания на единицу длины оси стержня (а не «средний угол закручивания», Так как
в формуле (2.2.12) здесь отпадают). Он находится по заданию крутящего момента из соотношения (1.5.4). Перемещения находятся по формулам (2.2.9) и оказываются равными (см. также п. 3.2)
Из этих соотношений следует, что при кручении поперечное сечение стержня, поворачиваясь вокруг оси стержня, не остается плоским («депланирует») — его точки смещаются вдоль оси стержня. Обнаружение этого факта является одним из важнейших достижений теории Сен-Венана. Определяющая депланацию гармоническая функция
является решением задачи Неймана (2.1.14); по (2.4.5) функция
однозначна в
Заметим, что ее разыскание, равно как и функции напряжений
не связано с задачей об изгибе силами
или
В задаче об изгибе силой
нормальное и касательные напряжения определяются по формулам (1.4.6), (2.1.15), (2.1.9);
а перемещения равны
В этих формулах а — «средний угол закручивания»; он также определяется по крутящему моменту
от касательных напряжений, создаваемых силой
Согласно (2.4.6) их следует выражать через две функции напряжений
и
или
Функция
как только что говорилось, определяется краевой задачей
— краевыми задачами
[см. (2.1.6), (2.1.7), (2.1.9)]. Заметим еще, что из последнего равенства (2.4.7) следует требование однозначности суммы
Конечно, соотношения в задаче об изгибе силой
аналогичны (2.4.6) — (2.4.9). Более подробное рассмотрение перечисленных отдельных задач — растяжения, изгиба парой, кручения, изгиба силой — дается ниже (п. 2.7 и §§ 3, 4 этой главы).