2.4. Классификация задач Сен-Венана.

Решение задачи Сен-Венана в ее общей постановке определяется заданием шести величин — трех проекций силы и трех моментов Каждая из шести частных задач соответствует действию только одного из этих силовых факторов. Три случая — действия осевой силы и моментов — элементарны, так как эти действия не создают касательных напряжений, вследствие чего отпадает рассмотрение краевой задачи.

Решение задачи растяжения осевой силой дается формулами

содержащимися в общих соотношениях (1.4.6), (2.2.9). Эти же соотношения и (2.3.6) дают решение задачи об изгибе парой

и парой

В задаче о кручении отличен от нуля только крутящий момент Нормальное напряжение о, отсутствует, а касательные напряжения по (2.1.2) выражаются через функцию напряжений определяемую уравнением Пуассона (2.1.3) при краевом условии (2.1.4):

причем постоянная а — угол закручивания на единицу длины оси стержня (а не «средний угол закручивания», Так как в формуле (2.2.12) здесь отпадают). Он находится по заданию крутящего момента из соотношения (1.5.4). Перемещения находятся по формулам (2.2.9) и оказываются равными (см. также п. 3.2)

Из этих соотношений следует, что при кручении поперечное сечение стержня, поворачиваясь вокруг оси стержня, не остается плоским («депланирует») — его точки смещаются вдоль оси стержня. Обнаружение этого факта является одним из важнейших достижений теории Сен-Венана. Определяющая депланацию гармоническая функция является решением задачи Неймана (2.1.14); по (2.4.5) функция однозначна в Заметим, что ее разыскание, равно как и функции напряжений не связано с задачей об изгибе силами или

В задаче об изгибе силой нормальное и касательные напряжения определяются по формулам (1.4.6), (2.1.15), (2.1.9);

а перемещения равны

В этих формулах а — «средний угол закручивания»; он также определяется по крутящему моменту

от касательных напряжений, создаваемых силой Согласно (2.4.6) их следует выражать через две функции напряжений

и или Функция как только что говорилось, определяется краевой задачей — краевыми задачами

[см. (2.1.6), (2.1.7), (2.1.9)]. Заметим еще, что из последнего равенства (2.4.7) следует требование однозначности суммы

Конечно, соотношения в задаче об изгибе силой аналогичны (2.4.6) — (2.4.9). Более подробное рассмотрение перечисленных отдельных задач — растяжения, изгиба парой, кручения, изгиба силой — дается ниже (п. 2.7 и §§ 3, 4 этой главы).