1.4. Потенциалы Буссинека.

Распределение особенностей по линиям, поверхностям и объемам дают частные решения уравнений теории упругости бесконечной среды, из которой удалены эти геометрические места. Решение краевых задач для ограниченного тела иногда достигается путем комбинирования так построенных решений.

Далее рассматриваются два примера такого построения частных решений, определяемых распределениями центров

расширения и центров вращения на полупрямой. Направление на ней задается единичным вектором а положение точки — абсциссой X, отсчитываемой от начала О полупрямой. Вектор-радиус точки среды, имеющий начало в текущей точке полупрямой, представляется в виде

где отсчитывается от ее начала О. Сославшись на (1.2.8), (1.2.12), приходим к частным решениям

Первое соответствует распределению центров расширения, второе — центров вращения. Постоянные — скаляр А и вектор С — характеризуют интенсивность этих особенностей. Имеем

причем вычисление градиента следует провести до подстановки верхнего предела, а потом подставить пределы; тогда слагаемое, относящееся к верхнему пределу исчезнет; получаем

Итак, вводя в рассмотрение первый потенциал Буссинека

приходим к двум представлениям вектора перемещения:

в любой области, из которой исключена полупрямая. В этой области гармоническая функция; можно непосредственным вычислением проверить, что она удовлетворяет уравнению Лапласа, но в этом нужды нет: если известно, что вектор перемещения в задаче теории упругости при отсутствии массовых сил представлен в форме градиента скаляра, то этот скаляр — гармонический; его можно отождествить, например, с гармоническим скаляром в решении Папковича — Нейбера (1.4.10) гд. IV.

Потенциал Буссинека (1.4.3) возрастает с ростом как соответствующий ему вектор перемещения убывает, как Вычисляемый по тензор напряжений равен

и его компонентами, если линией центров расширения служит отрицательная ось будут

Простота выражений компонент напряжения на площадках, перпендикулярных оси делает потенциал пригодным средством решения задачи о напряженном состоянии в упругом полупространстве

В сферической системе координат при том же выборе направления к южному полюсу сферы)

Для решения краевых задач применяется также еще один потенциал Буссинека:

Это, конечно, также гармоническая функция в области, из которой удалена отрицательная ось