V.5. Переход к ортогональным криволинейным координатам.

Метрический тензор в случае ортогонального триэдра базисных векторов является диагональным; его ковариантные компоненты равны

где — коэффициенты Ляме. Имеем, далее,

и, определяя по (IV. 1.2) векторы взаимного базиса, получаем

Они сонаправлены векторам исходного базиса. Соответствующие единичные векторы — касательные к координатным линиям обозначаются

Из представлений вектора

находим следующие выражения его контра- и ковариантных компонент через «физические» компоненты

Аналогичные выражения для тензора второго ранга записываются в виде

Символы Кристоффеля первого рода вычисляются по (, а второго рода — по (V. 2.7). Учитывая еще, что контравариантные компоненты метрического тензора равны

находим

Выражения производных базисных векторов составляются по формулам (V. 2.2); эти выражения могут быть использованы для составления формул дифференцирования единичных векторов, непосредственный вывод которых приведен в п. III. 4.

Внешняя простота и симметрия формул общего тензорного анализа теряется при переходе к ортогональным криволинейным координатам и физическим составляющим тензоров. Этот переход вместе с тем сопряжен с громоздкими записями; поэтому вычисления в ортогональных координатах, с которыми преимущественно приходится иметь дело, предпочтительно проводить, пользуясь изложенными в Приложении III приемами.