II.4. Двукратное дифференцирование.

По вектору определяется симметричный тензор второго ранга

Его след представляет лапласиан скаляра

Сопутствующий симметричному тензору вектор равен нулю — в применении к тензору приходим к известному свойству градиента скаляра:

Тензор третьего ранга допускает следующие свертывания, снижающие его ранг на две единицы:

а) образование вектора-лапласиана

б) вектор-градиент дивергенции

в) вектор-ротор ротора а:

так что

Тензоры второго ранга получим, снижая ранг на единицу; Это ротор градиента вектора а

и градиент его ротора

След этого тензора равен нулю:

Переходим к тензору четвертого ранга

Из возможных свертываний по двум парам индексов отметим

Свертывание по одной паре индексов дают тензоры второго ранга

Можно образовать также тензоры третьего ранга

и тензор второго ранга

Большое значение в механике сплошной среды имеет тензор второго ранга, представляющий ротор транспонированного ротора тензора второго ранга:

Этот тензор симметричен, если симметричный тензор. Действительно,

В литературе этот тензор называют причем первые буквы слова «Inkompatibilitat» - несовместимость (см. п. 2.1 гл. II):

Таблица компонент когда симметричный тензор, записывается в виде

Из тензоров третьего ранга (II. 4.11) при свертывании пары индексов образуются векторы

Приведем еще выражения некоторых дифференциальных операций над произведением вектора на скаляр:

Лапласиан произведения скаляров определяется соотношением