1.3. Внутренние силы в сплошной среде.

Рассмотрение равновесия сплошной среды основано на двух положениях: 1) при равновесии среды в равновесии находится любая по произволу выделенная ее часть (способ сечений), 2) условия равновесия абсолютно твердого тела являются необходимыми условиями равновесия рассматриваемой части среды (принцип затвердевания).

Мысленно разделим объем V на два объема поверхность раздела назовем О, а часть О, ограничивающую . В число внешних сил, действующих на среду в объеме теперь надо включить реакции на него среды в объеме . В противном случае необходимые условия равновесия внешних сил — массовых в и поверхностных сил на не были бы, вообще говоря, соблюдены. Эти силы должны компенсироваться силами и моментами реактивных воздействий, создаваемых прилегающей к V, средой в -объеме и распределенных по поверхности раздела О. Принимается, что распределение этих сил на площадке поверхности О статически эквивалентно силе причем ориентация площадки задается единичным вектором нормали к ней направленной вовне (рис. 1).

Из сказанного следует, что, задавшись в любом месте среды ориентированной площадкой мы должны сопоставить этому вектору вектор силы с которой часть среды «над» площадкой действует на ту ее часть, откуда направлен вектор По принципу равенства действия и противодействия сила

равной величины и противоположно направленная, будет действовать со стороны второй из упомянутых частей среды (расположенной «под» площадкой) на первую:

Эти воздействия частей среды друг на друга определяют поле внутренних сил — поле напряжений в сплошной среде. Его количественные характеристики изменяются не только от точки к точке, как в скалярных полях, но и в данной точке ему нельзя сопоставить определенного направления, как в случае векторных полей. Величина, задающая поле напряжений, должна определять вектор в каждой точке поля и для каждой ориентированной площадки в этой точке (или вектор по вектору

Рис. 1.

Это значит, что физическое состояние, названное полем напряжений, определяется величиной, сопоставляющей одному вектору другой Если принять, что связь между этими векторами линейна (этот вопрос рассмотрен в следующем п. 1.4), то такой величиной служит тензор второго ранга, в данном случае тензор напряжения. обозначается а его компоненты в декартовой системе осей через Вектор определяется произведением на слева:

Запись в форме произведения на справа изменила бы только обозначения компонент тензора

Замечания. 1. Было предположено, что распределение сил на элементарной площадке статически эквивалентно одной силе его главный момент относительно точки на линии действия этой силы принят равным нулю. Это предположение отброшено в разработанной в начале этого века братьями Коссера системе механики сплошной среды. Основанием для такого, казалось бы, парадоксального представления, что моменту можно приписать такой же порядок малости (порядок ), что и главному вектору, является, по-видимому, условность самого понятия малости в механике сплошной среды. То, что называется бесконечно малым объемом, представляет само по себе сложный объект, содержащий весьма большое число элементарных частиц, а передаваемое через площадку усилие следует трактовать как интегральный эффект взаимодействия этих частиц. Нет

ничего логически недопустимого в том, что по крайней мере в местах резкой изменяемости напряженного состояния влияние моментов может оказаться сравнимым с влиянием сил. В последние годы идеи Коссера развиваются в большом числе работ по «моментной» или «несимметричной» теории упругости.

2. Принятое предположение, что реактивное воздействие объема на может быть заменено только системой сил, распределенных по поверхности О, обусловлено физическим представлением, что взаимодействия частиц являются силами близкодействия. В нелокальной теории упругости учитываются массовые силы взаимодействия отброшенной части тела с оставшейся.

Рис. 2.