1.4. Простейшие операции с тензорами.

Суммой тензоров называют тензор который по умножении справа на вектор а определяет вектор, равный геометрической сумме Он обозначается

Из определения следует, что компоненты тензора равны суммам соответствующих компонент слагаемых тензоров Аналогично определяется произведение тензора на скаляр Компоненты этого тензора равны -Составим скалярное произведение векторов с и

Немые индексы переставлены местами, что, конечно, не изменило суммы. Обозначая теперь имеем

и поскольку слева стоит инвариант, вектор, то, сославшись на замечание в конце следует заключить, что проекции вектора. Они образованы с помощью матрицы

транспонированной с матрицей (1.3.1). Из сказанного выше следует, что этой матрицей определены компоненты тензора второго ранга называемого транспонированным к так что

Произведение слева тензора на вектор а определяется как произведение справа на этот же вектор а:

Проекции этого вектора, в отличие от (1.3.3), равны Основываясь на этем, можно записать тождества

и опускать скобки в записи билинейной формы величин

Тензор второго ранга называется симметричным, если он равен своему транспонированному:

Такой тензор задается шестью компонентами. Тензор

с равными нулю диагональными элементами называется кососимметричным; он задается тремя компонентами, часто обозначаемыми

так что матрица компонент записывается в виде

Тождество

определяет разбиение тензора на симметричную и кососимметричную части; их компоненты равны

Например,

Свойство тензора быть симметричным инвариантно относительно поворота системы осей. Действительно, по (1.3.6)

Компоненты кососимметричного тензора преобразуются при повороте координатной системы, как проекции вектора действительно,

так что

что согласуется с законом преобразования (I. 1.6) проекций вектора. Этот вектор, определяемый по (1.4.9), называют сопутствующим тензору его обращение в нуль свидетельствует о симметричности тензора. Заметим еще: вектор по (1.3.3) имеет проекции

так что, сославшись на (1.2.3), приходим к часто применяемым соотношениям

Обратившись еще к (1.4.8), имеем

Следствием этой формулы является соотношение

выражающее легко предвидимый результат, что в образовании квадратичной формы с помощью тензора имеет значение только его симметричная часть.

Рассмотрим билинейную форму где проекции векторов Предположение, что она инвариантна, то есть что ее численное значение сохраняется независимо от выбора координатной системы, выражается равенством

Оно выполняется, если коэффициенты формы преобразуются по закону (1.3.6), а ее переменные — по (1.1.6). Это позволяет дать третье определение тензора второго ранга как величины, задаваемой матрицей коэффициентов инвариантной билинейной формы. Коэффициентами инвариантной квадратичной формы задается симметричный тензор второго ранга.

Примеры. 1°. Известно, что удвоенная кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О

с угловой скоростью, задаваемой вектором определяется по формуле

Эта форма инвариантна, так как, конечно, численное значение кинетической энергии не зависит от выбора системы координат. Поэтому компоненты симметричного тензора второго ранга — тензора инерции твердого тела в точке О, а выражение можно записать еще в виде

2°. В примере 2° п. I. 3 квадратичная форма

представляет удвоенную потенциальную энергию упругого стержня. Этим подтверждается, что — симметричный тензор второго ранга.