5.5. Случай тела вращения.

За ось вращения принимается ось барьером служит плоская область 0 пересечения тела меридиональной полуплоскостью; через назовем барьер, образуемый плоскостью . В рассмотрение вводится триэдр единичных векторов цилиндрической системы координат (см. п. III. 7). Вследствие симметрии напряженное состояние, создаваемое на барьере дисторсией такое же, как создаваемое на барьере дисторсией с векторами ориентированными в осях так же, как в осях Поэтому, введя в рассмотрение тензоры поворота [см. (1.8.1)]

имеем

Эти значения внесем в выражение потенциальной энергии дисторсий, также, конечно, сохраняющей свою величину в двух рассматриваемых состояниях дисторсии. По (5.4.4) имеем

так что

Тензоры С, М, В постоянные (не зависят от положения барьера, то есть от угла что следует из второго выражения потенциальной энергии (5.5.3).

По (5.5.1) и (III. 7.3) имеем

и, чтобы не повторять одного и того же вычисления, вычислим производную по от тензора где постоянный тензор второго ранга:

Условия обращения в нуль этого тензора поэтому записываются в виде

так что

а если тензор симметричен, то и Итак,

и выражение потенциальной энергии дисторсий (5.4.4) на этом этапе представляется в виде

но возможно его дальнейшее упрощение, основанное на сохранении симметрии при поворотной дисторсии и поступательной

Пусть отличны от нуля только Тогда по (5.5.6)

и это выражение не должно менять величины при изменении знака относительного поворота спаиваемых концов вокруг оси симметрии; поэтому Такое же рассуждение в применении к случаю дает так как и изменение знака поступательной дисторсии перпендикулярной

барьеру, также не влияет на величину потенциальной энергии дисторсий. Итак,

Пусть теперь только В напряженном состоянии, создаваемом такой дисторсией, вследствие симметрии отсутствуют касательные напряжения так что по (5.3.3)

и вместе с тем, обращаясь к (5.4.1), (5.5.5) и (5.5.6), имеем

откуда следует, что а момент имеет направление

Перенесем центр моментов О в точку О на оси тогда по (5.5.8).

и можно выбрать так, чтобы обратить в нуль:

Эту точку О на оси Вольтерра называет центральной; при наличии в теле плоскости симметрии, перпендикулярной оси вращения, центральной будет точка пересечения этой оси с плоскостью симметрии. Выбрав ее за центр моментов, имеем теперь по (5.5.8)

и по (5.5.7) тензор оказывается нулевым. Выражение (5.5.6) потенциальной энергии дисторсии приводится к виду

В него входит только четыре постоянных; вместе с тем по (5.4.1) главный вектор и главный момент относительно центральной точки напряжений в меридиональном сечении тела оказываются равными

— в упругом двусвязном теле, обладающем симметрией вращения, каждой элементарной дисторсии сопоставляется ей соответствующее усилие при условии, что за центр моментов принята центральная точка. Напряжения, создаваемые поступательной дисторсией, статически эквивалентны равнодействующей с линией действия, проходящей через центральную точку, а создаваемые поворотной дисторсией — паре сил.