2.2. Перемещения в задаче Сен-Венана.

Основываясь на исходных соотношениях задачи Сен-Венана (1.3.3) и на обобщенном законе Гука, запишем равенства

Заменив его значением (1.4.6), приходим к равенствам

где функции указанных переменных, играющие роль «постоянных интегрирования» соответственно по х, у, z. По третьему соотношению (2.2.1) имеем теперь

Величины в фигурных скобках зависят только от в противном случае это соотношение связывало бы независимые переменные Называя эти величины через имеем

Из двух еще не использованных соотношений обобщенного закона Гука, записываемых в виде

теперь, сославшись на (2.1.15), находим

Выражения в квадратных скобках должны быть постоянны, так как не зависит от эти постоянные обозначаются — так что

где постоянные интегрирования. Из (2.2.5) следует также постоянство а из услввия интегрируемости, записываемого в виде

сославшись на (2.1.3), имеем

Сославшись теперь на (2.1.10), (2.1.12), можно в выражениях (2.2.5) провести замены

и интегрирование соотношении (2.2.5) дает

Остается подставить найденные выражения (2.2.3), (2.2.6), (2.2.7), (2.2.8) в исходные равенства (2.2.2). Придем к следующим выражениям перемещений:

Шесть постоянных определяют смещение стержня как твердого тела.

Запишем еще выражения проекций линейного вектора поворота . Имеем

Из последнего уравнения находим значение угла поворота, отнесенного к единице длины, вокруг оси стержня:

откуда, интегрируя по площади поперечного сечения и учитывая (1.1.1), получим

Этим дается кинематическое истолкование постоянной а — это средний угол закручивания поперечного сечения на единицу длины оси стержня.