2.2. Перемещения в задаче Сен-Венана.
Основываясь на исходных соотношениях задачи Сен-Венана (1.3.3) и на обобщенном законе Гука, запишем равенства
Заменив 
его значением (1.4.6), приходим к равенствам
где 
функции указанных переменных, играющие роль «постоянных интегрирования» соответственно по х, у, z. По третьему соотношению (2.2.1) имеем теперь
Величины в фигурных скобках зависят только от 
в противном случае это соотношение связывало бы независимые переменные 
Называя эти величины через 
имеем
Из двух еще не использованных соотношений обобщенного закона Гука, записываемых в виде
теперь, сославшись на (2.1.15), находим
Выражения в квадратных скобках должны быть постоянны, так как 
не зависит от 
эти постоянные обозначаются 
— так что
где 
постоянные интегрирования. Из (2.2.5) следует также постоянство 
а из услввия интегрируемости, записываемого в виде
сославшись на (2.1.3), имеем
Сославшись теперь на (2.1.10), (2.1.12), можно в выражениях (2.2.5) провести замены
и интегрирование соотношении (2.2.5) дает
Остается подставить найденные выражения (2.2.3), (2.2.6), (2.2.7), (2.2.8) в исходные равенства (2.2.2). Придем к следующим выражениям перемещений:
Шесть постоянных 
определяют смещение стержня как твердого тела.
Запишем еще выражения проекций линейного вектора поворота 
. Имеем
Из последнего уравнения находим значение угла поворота, отнесенного к единице длины, вокруг оси стержня:
откуда, интегрируя по площади поперечного сечения и учитывая (1.1.1), получим
Этим дается кинематическое истолкование постоянной а — это средний угол закручивания поперечного сечения на единицу длины оси стержня.
