IV.3. Метрический тензор.

Из формул (IV. 2.6) следует, что величины являются коэффициентами инвариантной квадратичной формы переменных а отсюда по сказанному в следует заключить, что этими величинами определен симметричный тензор второго ранга, обозначаемый его ко- и контравариантные компоненты; его смешанные компоненты суть коэффициенты билинейной формы переменных Тензор определяет в принятом базисе квадрат длины. Это объясняет его наименование — метрический тензор. Диадное представление тензора записывается в одном из трех видов

Из них следует:

или

Этой формулой определяется правило свертывания по немому индексу с помощью компонент метрического тензора, тогда как формулы (IV. 2.4) иллюстрируют операции подъема и опускания индекса — перехода от ковариантных компонент к контравариантным (и обратно) путем умножения на с последующим свертыванием по немому индексу.

К метрическому тензору в косоугольном базисе отходит роль единичного тензора. Это следует из того, что его произведение на вектор а справа или слева приводит к тому же вектору:

Еще проще это доказывается, если исходить из билинейного представления

Обозначим на минуту в его контравариантном представлении через Тогда

так что

Этого следовало ожидать, поскольку свойство единичного тензора быть равным своему обратному сохраняется в любом координатном базисе, а — это тот же тензор , но иначе обозначенный.

Из (IV. 3.4) следует, что матрицы и обратные; поэтому, обозначив алгебраическое дополнение элемента первой матрицы, имеем

где определитель матрицы ковариантных компонент метрического тензора. К этому же легко прийти, рассматривая произведение определителей матриц

Площадь о параллелограмма, построенного на векторах может быть представлена в двух видах;

Итак,