3.17. Многосвязные области.
Функция напряжений предполагается представленной в форме (3.3.5), где 
» определены, как решения краевых задач (3.3.2) — (3.3.4). При этом для разыскания неизвестных значений функции напряжений на внутренних контурах 
была получена система линейных уравнений (3.3.10). К этой же системе можно прийти, разыскивая минимум интеграла 
по входящим в него постоянным 
По (3.13.5) и (3.3.5) имеем
н условия минимума записываются в виде
или
где обозначено:
В этих преобразованиях использованы определения функций 
по соотношениям (3.3.2) -(3.3.4). Пришли к формулам (3.3.10), причем симметричность матрицы 
теперь не требует доказательства (см. п. 3.5).
Легко также проверить, что определитель этой матрицы отличен от нуля (он положителен). Действительно, записав
выражение функции напряжении 
вместо (3.3.5) в виде
имеем
Это — знакоопределенная положительная квадратичная форма переменных 
по теореме Сильвестра положителен определитель ее коэффициентов и все его диагональные миноры, в их числе определитель
Рис. 36.
Как пример рассмотрим трехсвязный профиль, представляющий тонкостенную трубу с перемычкой. Вводимые в рассмотрение опорные кривые 
являются дугами 
абсциссы на них обозначаются 
Наружный контур 
и контуры отверстий 
при этом задаются следующими значениями координаты 
(рис. 36):
Это позволяет назначить функцию напряжений в виде
Интеграл по занятой материалом площади 
профиля
представляется суммой трех интегралов
и выражение функционала 
по (3.16.7) может быть записано в виде
Постоянные 
находятся теперь из системы двух линейных уравнений
При обозначениях
получаем
Геометрическая жесткость профиля определяется формулой
Касательные напряжения в стенке трубы и в перемычке определяются из соотношений
и в случае симметричного профиля 
напряжение в переборке отсутствует; конечно, удаление переборки не изменяет при этом геометрической жесткости. Это следует и из формул (3.17.10), (3.16.6), причем в последней надо заменить 
на 
Изложенный здесь прием приближенного расчета без труда обобщается на профили произвольной связности; он представляется более простым, чем приемы, основанные на теореме о циркуляции касательного напряжения.
