ПРИЛОЖЕНИЕ I. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Скаляр и вектор.

В математическом естествознании рассматриваются величины, определяющие свойства физических объектов и происходящих в них процессов. Задание численных значений (при выбранной системе единиц) заключает в себе произвол, обусловленный выбором той или иной координатной системы — системы отсчета, но существующие между величинами связи не зависят от этих извне привнесенных способов описания. Тензорное исчисление представляет математическое средство, с помощью которого формулируются такие инвариантные (не зависящие от системы отсчета) соотношения между изучаемыми объектами.

Простейшим объектом является скаляр — физическая величина, задаваемая ее численным значением, одним и тем же во всех системах отсчета; таковы плотность, температура, работа, кинетическая энергия. Скаляр — инвариант по его определению.

Вектор — следующий по сложности объект. Это — физическая величина, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется жирный шрифт и преимущественно строчные буквы латинского алфавита. Действия векторной алгебры предполагаются известными; скалярное произведение векторов обозначается векторное Но для последующего необходимо напомнить правила преобразования проекций вектора при преобразовании поворота ортогональной декартовой системы координат; только такие системы применяются в дальнейшем, пока не оговорено противное. Заметим еще, что во всем последующем рассматриваются величины в трехмерном пространстве Евклида

Пусть исходная система осей («старые оси»), а получающаяся из нее преобразованием поворота («новые оси»); через обозначаются единичные векторы, задающие направления новой оси и старой через косинус угла между этими осями. Вектор а может

быть задан его проекциями на оси новой и старой систем и представлен его разложениями по единичным векторам

Здесь и во всем последующем знак суммирования по повторяющемуся индексу («немому» индексу) будет опускаться, а случай, когда суммирование не должно иметь места (когда рассматривается только одно слагаемое суммы), оговаривается особо перечеркнутым знаком суммы — «не суммировать по

Конечно, немой индекс, не изменяя смысла формул, можно по произволу менять, например, одни и те же суммы, три слагаемых в первой сумме, девять — во второй. Неповторяющиеся индексы называются свободными, им поочередно приписываются значения 1, 2, 3. Свободные индексы в обеих частях равенства должны иметь одинаковые наименования, например, записи представляют три равенства, девять равенств и девять слагаемых в правой части каждого.

В применении к единичным векторам формулы (1.1.1) записываются в виде

поскольку проекция на на Теперь, введя в рассмотрение символ Кронекера

и записывая условия Ортонормированности этих векторов

приходим к известным соотношениям связи между косинусами углов между осями новой и старой систем:

Подстановка (1.1.2) в формулы (1.1.1) приводит к закону преобразования проекций вектора

Конечно, численное значение проекции вектора зависит от направления оси, на которую проектируется вектор. Поэтому неудачно встречающееся словоупотребление «проекция вектора на ось — скаляр», так как скаляр — инвариантная физическая величина. Инвариантом вектора а является его модуль, обозначаемый а. Конечно, это следует и из закона преобразования (1.1.6):

Скалярным инвариантом двух векторов служит их скалярное произведение

Если известно, что где проекции вектора на старые и новые оси, то являются также проекциями вектора а на те же оси. Действительно,

так как направления можно выбрать по произволу; величины также преобразуются, как проекции вектора, что и требовалось.

При преобразовании поворота старые и новые системы одноименны — обе правые или обе левые, а определитель матрицы косинусов равен единице:

Если же поворот соединен с зеркальным отображением, простейшим примером служит то новые и старые оси разноименны. Далее рассматриваются только преобразования поворота; это позволит избежать некоторых усложнений, например различения истинных векторов и псевдовекторов.