ПРИЛОЖЕНИЕ I. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Скаляр и вектор.
В математическом естествознании рассматриваются величины, определяющие свойства физических объектов и происходящих в них процессов. Задание численных значений (при выбранной системе единиц) заключает в себе произвол, обусловленный выбором той или иной координатной системы — системы отсчета, но существующие между величинами связи не зависят от этих извне привнесенных способов описания. Тензорное исчисление представляет математическое средство, с помощью которого формулируются такие инвариантные (не зависящие от системы отсчета) соотношения между изучаемыми объектами.
Простейшим объектом является скаляр — физическая величина, задаваемая ее численным значением, одним и тем же во всех системах отсчета; таковы плотность, температура, работа, кинетическая энергия. Скаляр — инвариант по его определению.
Вектор — следующий по сложности объект. Это — физическая величина, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется жирный шрифт и преимущественно строчные буквы латинского алфавита. Действия векторной алгебры предполагаются известными; скалярное произведение векторов
обозначается
векторное
Но для последующего необходимо напомнить правила преобразования проекций вектора при преобразовании поворота ортогональной декартовой системы координат; только такие системы применяются в дальнейшем, пока не оговорено противное. Заметим еще, что во всем последующем рассматриваются величины в трехмерном пространстве Евклида
Пусть
исходная система осей («старые оси»), а
получающаяся из нее преобразованием поворота («новые оси»); через
обозначаются единичные векторы, задающие направления новой оси
и старой
через
косинус угла между этими осями. Вектор а может
быть задан его проекциями
на оси новой и старой систем и представлен его разложениями по единичным векторам
Здесь и во всем последующем знак суммирования по повторяющемуся индексу («немому» индексу) будет опускаться, а случай, когда суммирование не должно иметь места (когда рассматривается только одно слагаемое суммы), оговаривается особо перечеркнутым знаком суммы — «не суммировать по
Конечно, немой индекс, не изменяя смысла формул, можно по произволу менять, например,
одни и те же суммы, три слагаемых в первой сумме, девять — во второй. Неповторяющиеся индексы называются свободными, им поочередно приписываются значения 1, 2, 3. Свободные индексы в обеих частях равенства должны иметь одинаковые наименования, например, записи
представляют три равенства,
девять равенств и девять слагаемых в правой части каждого.
В применении к единичным векторам
формулы (1.1.1) записываются в виде
поскольку
проекция
на
на Теперь, введя в рассмотрение символ Кронекера
и записывая условия Ортонормированности этих векторов
приходим к известным соотношениям связи между косинусами углов между осями новой и старой систем:
Подстановка (1.1.2) в формулы (1.1.1) приводит к закону преобразования проекций вектора
Конечно, численное значение проекции вектора зависит от направления оси, на которую проектируется вектор. Поэтому неудачно встречающееся словоупотребление «проекция вектора на ось — скаляр», так как скаляр — инвариантная физическая величина. Инвариантом вектора а является его модуль, обозначаемый а. Конечно, это следует и из закона преобразования (1.1.6):
Скалярным инвариантом двух векторов служит их скалярное произведение
Если известно, что
где
проекции вектора
на старые и новые оси, то
являются также проекциями вектора а на те же оси. Действительно,
так как направления
можно выбрать по произволу; величины
также преобразуются, как проекции вектора, что и требовалось.
При преобразовании поворота старые и новые системы одноименны — обе правые или обе левые, а определитель матрицы косинусов равен единице:
Если же поворот соединен с зеркальным отображением, простейшим примером служит
то
новые и старые оси разноименны. Далее рассматриваются только преобразования поворота; это позволит избежать некоторых усложнений, например различения истинных векторов и псевдовекторов.