5.4. Бесконечная область с отверстием.

Конформное преобразование внешности единичного круга (область ) на область бесконечную плоскость, ограниченную изнутри замкнутым гладким контуром задается функцией

причем бесконечно удаленная точка плоскости отображается в бесконечно удаленную точку на плоскости Предполагается выполненным условие

гарантирующее однозначную разрешимость уравнения (5.4.1) относительно можно считать вещественным.

Сославшись на (3.1.8), введем в рассмотрение функции

которыми определяется напряженное состояние в бесконечной плоскости, когда в ее начале координат (в точке, не принадлежащей рассматриваемой здесь области приложена сила Очевидно, что этой силе будет равен главный вектор внешних сил на любом замкнутом контуре, содержащим внутри

точку в частности, на контуре отверстия Напомним еще, что вычисляемый по функциям вектор перемещения однозначен.

Итак, введя в рассмотрение однозначные в функции и полагая

следует записать условие на второй краевой задачи, сославшись на формулу (5.2.11), в виде

где главный вектор распределенных по дуге I контура поверхностных (внешних) сил. Изменение знака обусловлено тем, что в упомянутой формуле через обозначался главный вектор распределенных по дуге I напряжений, создаваемых упругой средой, расположенной со стороны вектора внешней к контуру нормали тогда как внешняя к области нормаль и, направлена противоположно

Другой формой записи условия (5.4.5) служит

Задача сведена к определению однозначных в функций она требует задания условий на бесконечности. Из структуры формул Колосова — Мусхелишвили (1.14.4) следует, что напряжения, вычисляемые по на бесконечности равны нулю, так что здесь речь идет о функциях Нетрудно заключить из тех же формул, что сохранение в представлениях этих функций положительных степеней z до включительно привело бы к напряжениям, возрастающим на бесконечности, как Поэтому представлениям вида

где голоморфны и обращаются в нуль на бесконечности:

соответствуют на бесконечности линейно зависящие от х, у напряжения

и вектор перемещения

Следуя сказанному в п. 5.3, полагаем здесь

что не влияет на напряжения и исключает из (5.4.10) плоское перемещение твердой фигуры.

Приведенным выражениям соответствует линейное по х, у напряженное состояние на бесконечности; в последующих записях ограничимся предположением, что оно однородно на бесконечности; тогда

а остающиеся коэффициенты могут быть выражены через главные напряжения на бесконечности и угол первой главной оси тензора с осью Имеем по (5.4.9)

и, вернувшись к (5.4.7), получаем

Отметим еще, что постоянную можно по (1.14.10) выразить через поворот на бесконечности:

Функции однозначны в их выражения имеют вид

причем разложения начинаются со слагаемых

Отметим, что мнимая часть коэффициента при в выражении определяется согласно (3.1.14) заданием главного момента внешних сил на Условие на в форме, аналогичной (5.2.10), записывается через функции виде

причем — вектор нормали, внешней к (внутрь отверстия), а распределенные по поверхностные силы. В частном случае свободного от нагружения контура отверстия и однородного напряженного состояния на бесконечности краевые условия в форме (5.4.6) или (5.4.16) принимают вид

Решению так поставленной краевой задачи, связанной с определением концентрации напряжений в окрестности отверстия, посвящена очень большая литература. См. пп. 8.1-8.3 этой главы. Выражение вектора перемещения записывается в виде

и этим равенством представляется на условие первой краевой задачи. Задания на только вектора перемещения недостаточно, требуется задать также и главный вектор поверхностных сил на Требование исчезновения перемещений на бесконечности, которое могло быть поставлено в пространственной задаче при отсутствии на бесконечности напряжений (см., например, п. 3.5 гл. IV), выполнимо лишь при

Заметим еще, что, введя с помощью формул, аналогичных (5.2.8), (5.2.13), функции придем к рассмотрению краевых задач на окружности отверстия у; они сведутся к разысканию голоморфных на бесконечности функций при переходе к переменной возможна замена на так как второе слагаемое в равенстве

может быть отнесено к голоморфной на бесконечности части функций