5.5. Эффекты второго порядка в задаче о кручении стержня.

Вектор в классическом решении, предполагающем малость угла закручивания а на единицу длины оси стержня, задается известными формулами

Отличны от нуля напряжения

Компоненты линейного вектора поворота по (2.2.10) гл. VI даются выражениями

Поэтому

Но в задаче кручения

а сославшись на (2.5.5) гл. VI, имеем

так как функция однозначна. Этим проверяется необходимое условие существования корректирующего вектора

В выражении вектора далее учитываются слагаемые второй степени по параметру а; представляя декартовы координаты точки после деформации формулами

имеем

и по

Вычисляемый по этим перемещениям линейный тензор напряжений равен

Без труда записываются также выражения входящих в состав векторов тензоров:

Как видно, система «объемных и поверхностных сил» достаточно сложна. Ограничимся учетом эффекта изменения длины стержня, равного Это требует знания только первых инвариантов рассматриваемых тензоров и их [3,3] компонент

Остается привести, сославшись на гл. VI, значения интегралов

После очевидного вычисления по формуле (5.4.10) придем к следующему выражению среднего значения относительного удлинения стержня, сопровождающего кручение:

отличающемуся только обозначениями от приводимого Ривлином (1953).

Очевидно, что так как ; но отсюда нельзя заключить, что кручение стержня сопровождается уменьшением его длины, так как для большего числа материалов