2.14. Теоремы Стернберга (1954).

Оценки быстроты убывания напряжений в упругом полупространстве, приведенные в п. 2.12, сохраняются в случае упругого тела конечных размеров, ограниченного поверхностью с непрерывной кривизной.

Предполагается, что поверхность тела нагружена по нескольким участкам, при выбранной единице длины имеющим линейные размеры порядка силы, распределенные по участку, конечны; поэтому порядки величин главного вектора, главного момента и силового тензора соответственно равны .

Рис. 17.

Через обозначается компонент напряжения, создаваемого нагружением по одному из участков, в точке наблюдения, находящейся от него на расстоянии Порядок этой величины обозначается

Стернберг доказал следующие предложения: 1) если главный вектор системы сил на рассматриваемом участке отличен от нуля; 2) если он равен нулю, а также в случае статически эквивалентной нулю системы сил (то есть и при обращении в нуль также и главного момента); если система сил на участке сверхстатическая.

Сказанное непосредственно следует из формул Лауричелла (1.2.20) — (1.2.23). Пусть один из участков загружения, фиксированная, любая точка на нем, так что и по условию Представив вектор и в виде

имеем

так как второе слагаемое является первым инвариантом произведения тензора на тензор Итак, по (1.2.20)

и остается заметить, что первое слагаемое имеет порядок площади загружения, а второй — порядок Этим дается вышеприведенная оценка деформаций и значений напряжений в точках тела, расположенных на расстояниях Напомним, что тензор и вектор вспомогательные средства в выводе формул Лауричелла; конечно, они никак не связаны с распределением сил на Ой и с определяемой этим распределением деформацией