VI.2. Сферические функции Лапласа.

Пусть однородный полином степени. Всего существует таких линейно независимых полиномов. По определению однородности

и следствием этого функционального соотношения является известная теорема Эйлера

Однородные гармонические полиномы, обозначаемые далее удовлетворяют уравнению Лапласа. Поскольку в выражение полинома степени входит произвольных коэффициентов, требование его тождественного обращения в нуль приводит к такому же числу соотношений, связывающих коэффициентов доказывается, что эти соотношения линейно независимы. Поэтому существует

линейно независимых гармонических полиномов степени. Например, для это полиномы

По (VI. 2.1) представление гармонического полинома в сферических координатах записывается в виде

Коэффициент при обозначаемый

называется сферической функцией Лапласа. Это значение гармонического полинома степени на сфере единичного радиуса.

Очевидно, что представление сферической функции Лапласа в форме тригонометрического полинома по аргументу X имеет вид

Но сумма степеней каждого слагаемого гармонического полинома равна Поэтому слагаемые, входящие в выражение сферической функции Лапласа, будут иметь вид

где Заменив теперь тригонометрические функции от X представлениями

нетрудно сообразить, что показатель степени в коэффициентах при выражения (VI. 2.6) имеет ту же четность, что и вместе с тем входит как множитель в коэффициенты Поэтому последние могут быть представлены в виде

где, как выше, постоянные; произведение на полином от степени

Таким образом, приходим к следующим представлениям независимых гармонических полиномов

причем

Сославшись на (VI. 1.3), теперь легко заключить, что дифференциальные уравнения (VI. 1.5), значит и (VI. 1.10), имеют частные решения

представляемые произведением на полином степени от Вместе с тем общее представление сферической функции Лапласа записывается в виде

Полиномиальное решение уравнения (VI. 1.5) при хорошо известно. Это — известный полином Лежандра

причем ряд кончается при нечетном членом, содержащим и, а при четном — членом, не зависящим от . В частности,

Вещественные полиномиальные решения уравнения (VI. 1.9) могут быть представлены в виде

и, в частности,

Возвращаясь к уравнению (VI. 1.5) при можно непосредственной проверкой убедиться, что функция связана с полиномом Лежандра соотношением

то есть что упомянутый ранее полином степени представляет производную по Решения называются присоединенными к Здесь они определены для

Имеем, в частности,

Соответствующие гармонические полиномы представляются в виде

Аналогично записываются решения дифференциального уравнения (VI. 1.9) при :

В частности,