3.7. Определение поля перемещений по заданию внешних сил и вектора перемещения на поверхности тела.

В точке неограниченной упругой среды приложена единичная сосредоточенная сила тогда по поверхности О, ограничивающей мысленно выделяемый из среды объем будут распределены поверхностные силы, определяемые по (3.5.11):

Вектор перемещения в этом объеме равен

Это состояние объема принимается за первое его состояние в теореме взаимности. Состояние того же тела под действием внешних сил — объемных и поверхностных назовем вторым состоянием; вектор перемещения в этом состоянии обозначается

Работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна

Сославшись на формулы Племели (3.6.12), (3.6.13), имеем в обоих случаях

так что, вспомнив определение (3.5.19) функции имеем

условившись, что интеграл в правой части, когда понимается в смысле его главного значения

Работа сил второго состояния на перемещениях первого состояния равна

и по (3.6.5) эта формула сохраняет свое значение как при так и при в последнем случае несобственный поверхностный интеграл сходится, так как особенность тензора рассматриваемого как функция точки в точке слабая (обращение в бесконечность, как

Применение теоремы взаимности приводит теперь к соотношению (произвольно задаваемый вектор может быть отброшен)

Последнее слагаемое в этой формуле

представляет частное решение уравнений равновесия в перемещениях (1.3.2), соответствующее объемным силам. Этим доказано (см. п. 1.4), что оно может быть определено квадратурами при любом законе задания объемных сил.

Соотношение (3.7.7) определяет вектор перемещения по заданию на поверхности О и поверхностной силы и вектора перемещения и. Поэтому оно, конечно, не является решением краевой задачи.

Проверим, что, когда второе состояние является натуральным, то есть при соотношению (3.7.7) удовлетворяет вектор перемещения тела как твердого:

Действительно, замечая, что

имеем

и, сославшись на (3.5.14), (3.5.18), получаем

что и требовалось.