2.10. Нагружение кругового бруса по поверхности.
Предложенный в пп. 2.3-2.8 прием рассмотрения задачи о балке с прямолинейной осью можно применить и к случаю кругового бруса. Действительно, записав уравнение Лапласа в полярных координатах в форме «обыкновенного» уравнения типа Эйлера:
можно представить его решение в виде
трактуя, подобно (2.3.4), эту запись как представление ряда
Бигармоническая функция представляется суммой гармонической и произведения гармонической функции на 
Поэтому,
введя вместо 
новую независимую переменную 
будем далее пользоваться представлением функции напряжений в виде
Далее для сокращения записей рассматривается только нормальное нагружение бруса по поверхности 
так что
Этим определяются функции 
в представлении (2.10.2). Имеем
Краевые условия на поверхности 
выполняются, если принять
Тогда
(см. скан)
Потребовав выполнения краевых условий на поверхности 
найдем 
после чего подстановка в выражение функции напряжений приводит к равенству
или, в другом представлении, 
Здесь 
определяется соотношением
и легко проверяется выполнение равенств
подтверждающих, в соответствии с (2.10.4), выполнение всех краевых условий.
При отсутствии нагружения боковых поверхностей 
тогда по (2.10.8)
и по (2.10.7) решение представится в виде
— это лишь иная форма записи формулы (2.9.13), определяющей функцию напряжений в случае бруса, нагруженного по торцам.
При линейно зависящем от 
нагружении
так как слагаемые 
пропорциональные 
определяют лишь далее не учитываемое решение вида (2.10.9). Решение задачи получим, сохранив в разложении 
в степенной ряд по де только свободный член
Никакого затруднения не представляет запись решения и при нагружении по закону
Достаточно заменить в выражении 
как было разъяснено в п. 2.7, оператор 
тогда
