2.3. Связь между обобщенными модулями при различных начальных состояниях.

Рассматриваются два состояния упругого тела — первое (-объем) является натуральным, второе получено из первого преобразованием подобия (-объем) с коэффициентом подобия тогда

Соответствующие плотности связаны соотношением

Меры деформации, вычисляемые по первому и второму начальным состояниям, и их инварианты связаны соотношениями (5.6.2), (5.6.3) гл. II. Потенциальная энергия деформации

в -объеме обозначается а и соответственно Конечно, поскольку численное значение потенциальной энергии является суммой потенциальных энергий, накопленных в переходах и не может отличаться от ее значения в переходе Поэтому, сославшись на (1.2.12), имеем

и, поскольку объем может быть, произвольно выбран,

Теперь по (2.3.4) имеем

так что по (2.1.4)

где, конечно, — обобщенные модули упругости, когда начальным состоянием является натуральное, а когда начальным служит -объем:

Закон состояния при этом выборе начального состояния записывается в виде

Заменив здесь соответственно на на и используя (2.3.6), получим

или

При такой связи между его контравариантными компонентами тензор напряжений сохраняет в -объеме значение, не зависящее от выбора начального состояния:

что и требуется.