1.14. Формула Гурса.

Эта формула дает представление бигармонической функции через две функции комплексного переменного. Исходными служат соотношения (1.12.4) и (1.13.9):

Из них получаем

и интегрирование по вводящее аддитивно входящую функцию от 2, обозначаемую дает

Еще одно интегрирование приводит к искомому представлению

Внесенная справа при этом интегрировании по I функция равна так как вещественная функция.

Все формулы предшествующего пункта легко выразить теперь через функции При этом используются упрощающие записи обозначения

Приходим к основным соотношениям для напряжений

и для вектора перемещения

Отметим еще формулы

а также соотношение

Представления в полярных координатах имеют вид

Функция входит лишь в выражение момента ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений; напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит Н. И. Мусхелишвили; далее они называются функциями Мусхелишвили.

Изучение аналитического характера функций Н. И. Мусхелишвили проводится в § 5 этой главы; в §§ 2—4 рассматриваются решения задач, не требующие применений теории функций комплексного переменного.

Проекция на ось вектора поворота называемая поворотом определяется по формуле

и

Замечание. Полагая в формуле Гурса (1.14.2)

имеем

и это общее представление бигармонической функции преобразуется к одному из видов

причем величины в скобках — гармонические функции. Приняв же в формуле Гурса

получим

Этим подтверждается, что всякая бигармоническая функция представима в одном из видов (1.11.1).