1.14. Формула Гурса.
Эта формула дает представление бигармонической функции через две функции комплексного переменного. Исходными служат соотношения (1.12.4) и (1.13.9):
Из них получаем
и интегрирование по
вводящее аддитивно входящую функцию от 2, обозначаемую
дает
Еще одно интегрирование приводит к искомому представлению
Внесенная справа при этом интегрировании по I функция равна
так как
вещественная функция.
Все формулы предшествующего пункта легко выразить теперь через функции
При этом используются упрощающие записи обозначения
Приходим к основным соотношениям для напряжений
и для вектора перемещения
Отметим еще формулы
а также соотношение
Представления в полярных координатах имеют вид
Функция
входит лишь в выражение момента
ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений; напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного
и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит Н. И. Мусхелишвили; далее они называются функциями Мусхелишвили.
Изучение аналитического характера функций Н. И. Мусхелишвили проводится в § 5 этой главы; в §§ 2—4 рассматриваются решения задач, не требующие применений теории функций комплексного переменного.
Проекция на ось вектора поворота
называемая поворотом
определяется по формуле
и
Замечание. Полагая в формуле Гурса (1.14.2)
имеем
и это общее представление бигармонической функции преобразуется к одному из видов
причем величины в скобках — гармонические функции. Приняв же в формуле Гурса
получим
Этим подтверждается, что всякая бигармоническая функция представима в одном из видов (1.11.1).