1.13. Выделение шаровой и девиаторной частей.

Возвращаясь к общему представлению изотропной тензорной функции , выделим в нем шаровую и девиаторную части тензора

Вместе с тем по (1.10.10) и (1.11.6)

так что

и подстановка в (1.13.1) приводит к соотношениям

Введя теперь новые обозначения

можно представить общую форму зависимости между двумя соосными тензорами в виде

причем

Постоянные можно связать с инвариантами Для вычисления его второго инварианта используется первая формула (1.11.17) в виде

где обозначено

Имеем

и, сославшись снова на (1.11.17), после простого вычисления найдем

При обозначении

получаем

Мы удовлетворим этому соотношению, положив

или

Теперь формула (1.13.7) записывается в виде

причем введенный в рассмотрение вспомогательный угол со может быть выражен через главные значения следуя (1.11.16), представим их в виде

Соотношение, связывающее главные значения тензора в соответствии с (1.3.11) можно записать в виде

Заменив здесь и к их значениями [см. (1.13.12), (1.11.16)] и учитывая (1.13.9), получим

Итак, величина со определяется равенством

При отношения главных значений девиаторов тензоров равны друг другу:

такие соосные тензоры называются подобными. Это дает основание назвать со углом подобия девиаторов. Соосные девиаторы подобны при отличие со от нуля определяет степень их «неподобия».

Итак, формула (1.13.6) связи между двумя соосными тензорами приведена к виду

В задание тензора входят три величины — это определяемые формулами (1.13.5) и (1.13.9) модули и фаза подобия девиаторов Их следует рассматривать как функции трех инвариантных характеристик тензора — его первого инварианта и величин определяемых по второму и третьему инвариантам с помощью формул (1.11.14) и (1.11.15).

Совершенно очевидно, что при перестановке местами следует заменить на на соответственно на

Этим решается задача обращения соотношения (1.13.15):

Предложенное В. В. Новожиловым преобразование исходного соотношения (1.12.4) между двумя соосными тензорами к форме (1.13.15) позволило выразить исходные коэффициенты через величины, поддающиеся интерпретации в терминах механики сплошной среды. Решение задачи обращения становится при этом прозрачно простым. Можно, конечно, предложить и ее прямое решение; для этого достаточно, записав выражение тензора через в виде

подставить в него выражение ( тензора заменив при этом с помощью теоремы Кейли — Гамильтона через Придем к трем линейным уравнениям, которые позволят выразить неизвестные через и главные инварианты Соотношения оказываются громоздкими; они несколько упрощаются, если выделить из его шаровую часть, представить в форме (1.13.7), а решение задачи обращения разыскивать в этой же форме:

Здесь по (, (

Для определения подставим в правую часть (1.13.18) выражение (1.13.7). Получающееся равенство может быть при использовании теоремы Кейли — Гамильтона записано в виде

Теперь замечая, что

по условию обращения в нуль приходим к соотношению

представляющему другую форму записи связи Для определения получаем два уравнения:

из которых получим