3.7. Неравенства для жесткости при кручении.
Далее жесткость при кручении стержней любого односвязного сечения сравнивается с жесткостью круглого и эллиптического стержня. С этой целью жесткость при кручении представим, используя (3.2.5) и (2.5.5), в виде
Теперь, обратившись к (2.1.10) и вспомнив, что
равно нулю на границе, имеем
так что по (2.1.12)
Вместе с тем
так как
Этим доказывается, что жесткость стержня меньше его полярного момента инерции:
если исключить случай равенства, возможный только для круглого стержня
Доказана также более содержательная
теорема: при заданной площади стержень круглого сечения имеет наибольшую жесткость (Полиа, 1948).
Более точную оценку может дать сравнение жесткости при кручении с жесткостью не круглого сечения, а некоторого сечения
для которого известно решение задачи кручения. Полагаем
где
известное решение для
это гармоническая в
функция, но не удовлетворяющая краевому условию на
(краевое условие задачи кручения выполнено на
значения
на
известны, так как эта функция задана в области
Корректирующая гармоническая функция
в сумме с
определяет решение
задачи кручения в
принимающее значение
на
В формуле (3.7.1) имеем теперь
По формуле Грина (см. п. 2.5), поскольку
гармонические функции,
Поэтому, сославшись на формулы (3.7.1), (3.7.2) и заменив его краевым значением, получаем
В неравенстве Е. Л. Николаи (1916) в качестве функции
принято выражение
где
моменты инерции и полярный момент инерции площади
это — решение задачи кручения для стержня эллиптического сечения
с такими же моментами инерции, что легко проверить, подставив вместо
вышеприведенные
для эллипса значения (п. 3.6), тогда придем к решению (3.6.5). Имеем теперь
и подстановка в (3.7.5) приводит к неравенству Е. Л. Николаи (1916)
причем знак равенства достигается для стержня эллиптического сечения. Очевидно, что эта оценка точнее, чем (3.7.3), так как правая часть в неравенстве (3.7.7) меньше