3.7. Неравенства для жесткости при кручении.

Далее жесткость при кручении стержней любого односвязного сечения сравнивается с жесткостью круглого и эллиптического стержня. С этой целью жесткость при кручении представим, используя (3.2.5) и (2.5.5), в виде

Теперь, обратившись к (2.1.10) и вспомнив, что равно нулю на границе, имеем

так что по (2.1.12)

Вместе с тем

так как Этим доказывается, что жесткость стержня меньше его полярного момента инерции:

если исключить случай равенства, возможный только для круглого стержня Доказана также более содержательная

теорема: при заданной площади стержень круглого сечения имеет наибольшую жесткость (Полиа, 1948).

Более точную оценку может дать сравнение жесткости при кручении с жесткостью не круглого сечения, а некоторого сечения для которого известно решение задачи кручения. Полагаем

где известное решение для это гармоническая в функция, но не удовлетворяющая краевому условию на (краевое условие задачи кручения выполнено на значения на известны, так как эта функция задана в области Корректирующая гармоническая функция в сумме с определяет решение задачи кручения в принимающее значение на

В формуле (3.7.1) имеем теперь

По формуле Грина (см. п. 2.5), поскольку гармонические функции,

Поэтому, сославшись на формулы (3.7.1), (3.7.2) и заменив его краевым значением, получаем

В неравенстве Е. Л. Николаи (1916) в качестве функции принято выражение

где моменты инерции и полярный момент инерции площади это — решение задачи кручения для стержня эллиптического сечения с такими же моментами инерции, что легко проверить, подставив вместо вышеприведенные

для эллипса значения (п. 3.6), тогда придем к решению (3.6.5). Имеем теперь

и подстановка в (3.7.5) приводит к неравенству Е. Л. Николаи (1916)

причем знак равенства достигается для стержня эллиптического сечения. Очевидно, что эта оценка точнее, чем (3.7.3), так как правая часть в неравенстве (3.7.7) меньше