II.3. Дифференциальные операции над тензорами.

Сказанное в п. 11.2 обобщается на тензорные поля любого ранга. Ранг тензора уменьшается на единицу при умножении его слева на набла-оператор — образовании дивергенции тензора:

Векторное умножение слева на V приводит к тензору того же ранга — ротору тензора

Наконец, градиент тензора образуется при диадном умножении его слева на V:

В частности, дивергенция тензора второго ранга представляет вектор

а для кососимметричного тензора

Поэтому, выделив из тензора его кососимметричную часть, получим

Дивергенция диады выражается через дифференциальные операции над ее векторами

Ротор тензора второго ранга представляет тензор второго ранга

Развернутая матрица его компонент дается таблицей (1.5.9), в ней надо заменить на Свертывая этот тензор, получим, сославшись на (1.4.9), его след

где — сопутствующий вектор.

В случае кососимметричного тензора

Приведем еще многократно используемую в механике сплошной среды формулу для дивергенции вектора

так как по (1.6.7) и (II. 2.4)