2.4. Дисторсии Вольтерра.

Векторы поворота и перемещения и, определяемые интегралами (2.1.6) и (2.2.2), представляют в односвязной области однозначные функции координат Ой точки верхнего предела интеграла. В случае двусвязной области в рассмотрение должны быть введены циклические постоянные векторы — см. (II. 6.9):

где К — несводимый непрерывным преобразованием в точку контур. Значения в точке могут быть теперь записаны в виде

где число оборотов по -контуру на пути интегрирования из в Однозначность определения векторов и и теряется. Ее можно восстановить проведением барьера, превращающего двусвязную область в односвязную, однако переход через барьер сопровождается нарушением непрерывности этих векторов.

Пусть о — поверхность барьера, две конгруэнтные с поверхности, расположенные непосредственно «над» и «под» барьером; близкие друг другу точки на

Тогда, принимая за начальную, за конечную точку пути интегрирования, имеем (рис. 9)

При изложении поверхностей на барьер

и интегралы (2.4.4), равны их значениям по замкнутому -контуру. Приходим к формулам Вейнгартена, определяющим разрывы на барьере, векторов (1901):

Рис. 9.

Они указывают на то, что материал на одной стороне барьера испытал относительно материала на другой его стороне малое перемещение, возможное в твердом теле, задаваемое векторами поворота и поступательного перемещения с.

Это Можно объяснить так: из двусвязного тела (тора, например) после его рассечения по поверхности удален тонкий слой материала, а затем конгруэнтные концы полученного односвязного тела снова спаяны (в тор), причем им было Сообщено малое поступательное перемещение с и малый поворот, определяемый вектором Эту операцию образования нового тела из старого Вольтерра назвал дисторсией; Ляв называет ее дислокацией, но в литературе последнего десятилетия термину «дислокация» придается более общее значение. В подверженном дисторсии упругом теле возникаем напряженное состояние. Оно может быть теоретически рассчитано по заданию циклических постоянных векторов Последние могут быть определены экспериментально по измерению смещений и поворртов концов разрезаемого кольцеобразного тела.

Возможность дисторсии в односвязном теле исключается, так как после удаления из него, скажем, тонкого клинообразного тела и последующего сшивания свободных краев теряется непрерывность самого тензора деформации (следовательно, и напряжения становятся разрывными). Это следует из того, что, как указывалось ранее, перемещения в односвязном теле

могут быть многозначными, если тензор непрерывен. Этим же следует объяснить, почему при рассмотрении дисторсии говорилось об удалении из тела полоски с обязательно конгруэнтными краями, — дело в том, что разрыв на барьере вектора и, совместимый с предположением о непрерывности тензора представляется смещением твердого тела. При всяком же разрыве более сложной природы этот тензор не останется непрерывным.