7.4. Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра.

В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от и произведения функций от на . В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси в случае полого цилиндра.

1°. Осесимметричные гармонические функции. Для сплошного цилиндра речь идет о выраженных в цилиндрических координатах гармонических полиномах

где — полиномы Лежандра (VI.2.11). В частности, имеем

В случае полого цилиндра добавляются решения вида

причем слагаемое определяется по условию

Здесь использовано известное представление лапласиана произведения и учтено, что Возвращаясь к сферическим координатам, имеем

так что (если использовать известное рекуррентное соотношение для полинома Лежандра)

Теперь, разыскивая в виде произведения

приходим к неоднородному уравнению Лежандра

Его правая часть представляет полином степени от представимый через полиномы Лежандра формулами

Поэтому, записав уравнение Лежандра для полинома в виде

и разыскивая в виде

придем для определения к соотношению

Из него, использовав (7.4.5), найдем

С помощью этих формул, а также (7.4.3), (7.4.4) получаем

2°. Полиномиальные решения, пропорциональные Выражение в цилиндрических координатах гармонических полиномов, пропорциональных имеет вид

При обозначении

так что

и т. д., полиномиальные решения для сплошного цилиндра записываются в виде

В случае полого цилиндра добавляются решения, имеющие особенности на оси эти решения разыскиваются в виде

по условию

Последовательно находим

3°. В качестве примера рассмотрим цилиндр, нагруженный нормальными давлениями, линейно распределенными по его внешней и внутренней поверхностям:

Решение представляется через осесимметричные гармонические функции

По (7.1.6), (7.4.2), (7.4.5) после определения постоянных по краевым условиям (7.4.14) найдем напряжения

Это решение соответствует отсутствию загружения торцов цилиндра; продифференцировав его по , придем к решению (7.2.4) задачи Ляме (при замене на

Задание решения в форме (7.4.15) позволяет рассмотреть также случай нагружения боковых поверхностей касательными напряжениями постоянной интенсивности

Напряжения оказываются равными

Это напряженное состояние осуществляется приближенно в удалении от торцов длинного цилиндра, на торце которого отсутствуют нормальные напряжения, тогда как по торцу приложены сжимающие напряжения с равнодействующей

[см. также (7.1.17)].