7.4. Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра.
В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от
и произведения функций от
на
. В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от
для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси
в случае полого цилиндра.
1°. Осесимметричные гармонические функции. Для сплошного цилиндра речь идет о выраженных в цилиндрических координатах гармонических полиномах
где
— полиномы Лежандра (VI.2.11). В частности, имеем
В случае полого цилиндра добавляются решения вида
причем слагаемое
определяется по условию
Здесь использовано известное представление лапласиана произведения и учтено, что
Возвращаясь к сферическим координатам, имеем
так что (если использовать известное рекуррентное соотношение для полинома Лежандра)
Теперь, разыскивая
в виде произведения
приходим к неоднородному уравнению Лежандра
Его правая часть представляет полином
степени от
представимый через полиномы Лежандра формулами
Поэтому, записав уравнение Лежандра для полинома
в виде
и разыскивая
в виде
придем для определения
к соотношению
Из него, использовав (7.4.5), найдем
С помощью этих формул, а также (7.4.3), (7.4.4) получаем
2°. Полиномиальные решения, пропорциональные
Выражение в цилиндрических координатах гармонических полиномов, пропорциональных
имеет вид
При обозначении
так что
и т. д., полиномиальные решения для сплошного цилиндра записываются в виде
В случае полого цилиндра добавляются решения, имеющие особенности на оси
эти решения разыскиваются в виде
по условию
Последовательно находим
3°. В качестве примера рассмотрим цилиндр, нагруженный нормальными давлениями, линейно распределенными по его внешней и внутренней поверхностям:
Решение представляется через осесимметричные гармонические функции
По (7.1.6), (7.4.2), (7.4.5) после определения постоянных по краевым условиям (7.4.14) найдем напряжения
Это решение соответствует отсутствию загружения торцов цилиндра; продифференцировав его по
, придем к решению (7.2.4) задачи Ляме (при замене
на
Задание решения в форме (7.4.15) позволяет рассмотреть также случай нагружения боковых поверхностей касательными напряжениями постоянной интенсивности
Напряжения оказываются равными
Это напряженное состояние осуществляется приближенно в удалении от торцов длинного цилиндра, на торце которого
отсутствуют нормальные напряжения, тогда как по торцу
приложены сжимающие напряжения с равнодействующей
[см. также (7.1.17)].