1.5. Обобщенное плоское напряженное состояние.
Через
назовем размер тела по оси z и вместо
введем в рассмотрение также бигармоническую функцию
Теперь, предполагая еще, что напряженное состояние в теле симметрично относительно срединной плоскости тела
так что
можно переписать соотношение (1.4.7) в виде
Напряжения, определяемые по формулам (1.4.2), оказываются равными
В дальнейшем предполагается, что тело представляет пластинку толщины
малой по сравнению с ее размерами в плане. Это позволяет принять, что ее напряженное состояние с достаточной точностью может быть описано заданием средних по толщине значений напряжений
Тогда, заметив, что
придем к следующим выражениям этих средних значений:
Эти формулы определяют так называемое обобщенное плоское напряженное состояние. Конечно, поверхностные силы также должны быть осреднены по толщине пластинки:
Обобщенный закон Гука при отсутствии напряжений
записывается в виде
и для определения средних по толщине значений перемещений
служат формулы
Далее по третьему соотношению (1.5.7) находим, используя также (1.5.4), разность значений
на верхней и нижней сторонах пластинки — изменение ее толщины:
Остающиеся уравнения (1.5.7) определяют разности значений
на сторонах пластинки через производные по х, у среднего значения
но последнее остается неизвестным.