1.5. Обобщенное плоское напряженное состояние.

Через назовем размер тела по оси z и вместо введем в рассмотрение также бигармоническую функцию

Теперь, предполагая еще, что напряженное состояние в теле симметрично относительно срединной плоскости тела так что можно переписать соотношение (1.4.7) в виде

Напряжения, определяемые по формулам (1.4.2), оказываются равными

В дальнейшем предполагается, что тело представляет пластинку толщины малой по сравнению с ее размерами в плане. Это позволяет принять, что ее напряженное состояние с достаточной точностью может быть описано заданием средних по толщине значений напряжений

Тогда, заметив, что

придем к следующим выражениям этих средних значений:

Эти формулы определяют так называемое обобщенное плоское напряженное состояние. Конечно, поверхностные силы также должны быть осреднены по толщине пластинки:

Обобщенный закон Гука при отсутствии напряжений записывается в виде

и для определения средних по толщине значений перемещений служат формулы

Далее по третьему соотношению (1.5.7) находим, используя также (1.5.4), разность значений на верхней и нижней сторонах пластинки — изменение ее толщины:

Остающиеся уравнения (1.5.7) определяют разности значений на сторонах пластинки через производные по х, у среднего значения но последнее остается неизвестным.