§ 4. Вторая мера и второй тензор конечной деформации

4.1. Вторая мера конечной деформации.

Введение первой меры деформации и обратного ей тензора позволило указать способы определения геометрических объектов (длин отрезков, углов ними, ориентированных площадок) -объема по их заданию в -объеме. Здесь будет рассмотрена обратная задача — определение этих объектов в -объеме по их заданию в -объеме. Очевидно, что ее решение сведется к замене в построениях § 3 векторов на на Тот и другой вектор мы будем считать функциями материальных координат

Исходным соотношением вместо (3.2.4) теперь является

и, полагая получим

Введенный здесь симметричный тензор второго ранга

представляет вторую меру деформации. Его компоненты в векторном базисе -объема равны ковариантным компонентам единичного тензора в -объеме; но, конечно, нельзя отождествлять эти тензоры: контравариантные компоненты меры деформации х определяются формулами

Для вычисления ковариантных компонент служат формулы

Тензор обратный определяется из соотношения

Здесь использованы равенства (3.2.6); по (3.2.3) имеем

Компоненты этого тензора представляют элементы матрицы, обратной Повторив вычисление, подобное (3.3.9), получим также