1.10. Выражение компонент тензора через главные значения. Инварианты. Теорема Кейли-Гамильтона.

Совместим «старые» оси с главными направлениями тензора и (чтобы не усложнять обозначений) назовем через единичные векторы новых осей. Тогда по (

— таковы формулы, выражающие компоненты тензора в произвольно направленных осях через его главные значения; в них косинус угла оси с главным направлением

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в что корни полинома не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зависят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры имеют одни и те же инварианты.

Развернутая запись полинома имеет вид

Вместе с тем

и сравнение этих записей позволяет записать следующие выражения главных инвариантов:

Отправляясь от диадного представления тензора (1.9.12), можно записать диадное представление в виде

и вообще

Эта формула сохраняет смысл при целом отрицательном и при нецелых Например,

и при

поскольку при таком определении

что и требуется.

По (1.6.10) имеем и это позволяет представить также в виде

Используя (1.10.3) и (1.10.7), имеем

и, поскольку

— тензор удовлетворяет тому же характеристическому уравнению, что и его главные значения. Это — теорема Кейли — Гамильтона, она позволяет выразить любую целую степень тензора через а его инварианты любой степени — через три главных инварианта. «Отрицательные степени» тензора также выражаются через Действительно, по (1.10.11)

где для краткости принято

Основываясь на этих равенствах, составим выражения инвариантов Имеем, сославшись на (1.10.10),

Далее,

так что

Наконец, вспомнив известное свойство определителя обратной матрицы, имеем

Теорема Кейли — Гамильтона, доказанная здесь для симметричного тензора второго ранга, имеет место для любой (симметричной или несимметричной) матрицы — матрица удовлетворяет ее характеристическому уравнению.

Симметричный тензор называется положительным, если образуемая по нему квадратичная форма компонент любого вектора а — положительная определенная:

(знак равенства возможен лишь при Все главные значения положительного тензора положительны, так как

(здесь проекции а на главные оси). Определение тензора имеет смысл только для положительных тензоров Примером положительного тензора может служить тензор если невырожденный тензор . Действительно,

и равенство нулю возможно только при

Но эта однородная система трех уравнений имеет только тривиальное решение поскольку

Теперь можно доказать, что невырожденный тензор представим в форме произведения тензора поворота слева (или справа) на определяемый по симметричный положительный тензор (или К)

Действительно,

и поэтому

Но по сказанному (равно как положительный тензор. Поэтому

Итак,

Из этих представлений следует, что

— тензоры поворота; действительно, тензоры симметричны, и поэтому

что и требовалось доказать.