7.13. Бифуркация равновесия полой сферы, сжатой равномерно распределенным давлением.

Радиально-симметричное состояние равновесия было рассмотрено в п. 7.3; близкие к нему осесимметричные формы равновесия можно получить, налагая перемещение, не зависящее от координаты А (долготы):

Оглична от нуля только компонента вектора

Сославшись на формулы (7.2.1), (7.3.7), (7.8.3), получаем

Здесь

причем постоянная определена из формулы (7.3.9) условием отсутствия нагружения по внутренней поверхности полой сферы. Имеем, далее,

причем штрихом указывается дифференцирование по Уравнения равновесия (7.7.14) при отсутствии массовых сил представляются в виде

причем

Предполагая, что давление остается нормальным к деформированной поверхности сферы, обратимся к записи краевого условия (7.7.18). По (7.7.17) имеем

и, далее,

так как

Поэтому

Вместе с тем на поверхности сферы

Краевые условия (7.7.18) теперь приводятся к виду: на наружной поверхности сферы

а на внутренней

Дифференциальные уравнения (7.13.6) совместно с краевыми условиями (7.13.9), (7.13.10) дают формулировку однородной краевой задачи; условия существования ее нетривиальных решений определяют бифуркационные значения параметра наименьшее из них представляет критическое давление. Аналогичные вычисления позволяют сформулировать краевую задачу, относящуюся к разысканию критического наружного давления в случае полого круглого цилиндра.

Решение системы дифференциальных уравнений равновесия (7.13.6) разыскивается в виде

причем штрихами обозначаются производные по аргументам Оно остается конечным в обоих полюсах сферы только при целых По (7.13.8), (7.13.2), использовав известные рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра, получим

причем введены обозначения

В уравнениях (7.13.6) переменные разделяются; приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, записываемой в виде

Ее решение легко находится:

причем произвольные постоянные. Подставив теперь эти значения в систему (7.13.13), придем к также

легко интегрируемой системе линейных неоднородных уравнений, определяющей неизвестные функции

Здесь

причем постоянные.

Переменные разделяются также в линейных краевых условиях (7.13.9), (7.13.10); подставив в них найденные значения придем к системе четырех однородных линейных уравнений для постоянных Приравняв нулю ее определитель, придем к уравнению, определяющему бифуркационные значения параметра Последний войдет в это уравнение также и через выражение функции определяемой по (7.13.7), (7.13.4), причем постоянная нелинейно связана с соотношением (7.3.10). Критическое давление является минимальным бифуркационным значением определяемым надлежащим выбором числа узлов искомой формы равновесия при заданном отношении