7.7. Наложение малой деформации.

Как и в п. 4.1, предполагается, что точкам упругого тела сообщено малое перемещение из предполагаемого известным состояния равновесия. Иными словами, рассматриваются три состояния тела: начальное (-объем), заданное напряженное (V-объем) и второе напряженное состояние (-объем), близкое к заданному.

Вектор-радиус точки в этих состояниях обозначается соответственно причем

Для величин в -объеме сохраняются ранее принятые обозначения (например, и т. д.), а их значения в V-объеме различаются ноликом сверху и т. д.). Разности («возмущения»), вычисляемые с удержанием первой степени параметра малости ), представляются в форме произведения этого параметра на величину, обозначаемую сверху точкой:

Очевидно, что а все величины, обозначенные точкой сверху, представляют линейные операции над вектором Их можно трактовать как производные по при от величин, определенных в -объеме:

В соответствии с определением (3.3.2) гл. II меры деформации тензор представим в виде

причем звездочкой обозначается, как всегда, операция транспонирования тензора второго ранга.

Далее предполагаются известными главные значения и главные направления мер деформации [см. (5.3.1) гл. II]. Для построения тензора

надо определить векторы попутно найдутся также выражения величин Нетрудно заметить, что эти векторы ортогональны действительно, -

Сославшись на определения (1.9.1), (1.9.4) главных значений и главных направлений тензора, имеем

причем, конечно, в -объеме

Поэтому, умножив скалярно обе части (7.7.4) на ей, имеем

или, по

Отсюда при получаем

а при

Этим совместно с (7.7.3) определены проекции вектора на оси триэдра ей, поэтому

(штрихом указывается пропуск слагаемого Точно так же для тензора имеем

причем, аналогично (7.7.1),

Выражение (7.7.2) тензора А теперь записывается в виде (отбрасываем знаки суммирования)

Далее используются соотношения

из которых следует

Это позволяет представить (7.7.9) в виде

причем использованы соотношения вида

Приходим к выражению

Для представления тензора

требуется еще вычисление величины

Сославшись на (7.7.6), (7.7.1), имеем

или (отбросив знак суммы)

Приходим к такому представлению формулы (7.7.11):

При преобразовании -объема в -объем массовая сила предполагается остающейся неизменной. Тогда уравнение равновесия в -объеме представится в виде

причем по закону сохранения массы

или по (7.7.1)

Уравнение равновесия на поверхности

приводится к виду

Здесь

и уравнение равновесия на поверхности О объема V приводится к виду

Представление величины через вектор основывается на соотношениях

Из них следует

так что

В частном случае давления неизменной величины остающегося нормальным поверхности О, ограничивающей V-объем, по (3.5.7) гл. II имеем

и, поскольку

получаем