6.3. Способ интегралов Коши.
Способ интегралов типа Коши в применении к краевым задачам плоской теории упругости был предложен и подробно разработан Н. И. Мусхелишвили. В его труде даны строгое обоснование и многочисленные применения этого способа, поэтому здесь можно ограничиться лишь пояснением техники вычисления.
Умножив обе части соотношения (6.2.7) на
и интегрируя по контуру у единичного круга, имеем
Теперь, сославшись на интегральные формулы Коши (5.10.2), (5.10.3) и учитывая, что
голоморфная при
функция, имеем
Аналогичное вычисление в применении к условию (6.2.8) дает
Здесь следует еще убедиться в обратном: определяемые равенствами (6.3.1), (6.3.2) во всей области функции
удовлетворяют краевым условиям (6.2.7), (6.2.8), по которым они найдены способом интегралов Коши. Обоснование с помощью теорем теории потенциала (теорема Гарнака) приводится в упомянутом труде Н. И. Мусхелишвили. Другой вывод этих же соотношений приводится в пп. 6.13, 6.14.
По (6.3.1) при
имеем
и условие вещественности левой части этого равенства
представляет уравнение моментов. Итак, приняв
имеем
Остается по (6.3.1), (6.3.2) найти
получаем
и определяемая этим равенством функция
голоморфна в круге
при условии, что в разложении в ряд по степеням
правой части отсутствует свободный член и член первой степени
— это уравнения равновесия, причем одно из них записано в форме, сопряженной в (6.2.2). По (6.3.4), (6.3.5) находим теперь