6.3. Способ интегралов Коши.

Способ интегралов типа Коши в применении к краевым задачам плоской теории упругости был предложен и подробно разработан Н. И. Мусхелишвили. В его труде даны строгое обоснование и многочисленные применения этого способа, поэтому здесь можно ограничиться лишь пояснением техники вычисления.

Умножив обе части соотношения (6.2.7) на

и интегрируя по контуру у единичного круга, имеем

Теперь, сославшись на интегральные формулы Коши (5.10.2), (5.10.3) и учитывая, что голоморфная при функция, имеем

Аналогичное вычисление в применении к условию (6.2.8) дает

Здесь следует еще убедиться в обратном: определяемые равенствами (6.3.1), (6.3.2) во всей области функции удовлетворяют краевым условиям (6.2.7), (6.2.8), по которым они найдены способом интегралов Коши. Обоснование с помощью теорем теории потенциала (теорема Гарнака) приводится в упомянутом труде Н. И. Мусхелишвили. Другой вывод этих же соотношений приводится в пп. 6.13, 6.14.

По (6.3.1) при имеем

и условие вещественности левой части этого равенства

представляет уравнение моментов. Итак, приняв имеем

Остается по (6.3.1), (6.3.2) найти получаем

и определяемая этим равенством функция голоморфна в круге при условии, что в разложении в ряд по степеням правой части отсутствует свободный член и член первой степени

— это уравнения равновесия, причем одно из них записано в форме, сопряженной в (6.2.2). По (6.3.4), (6.3.5) находим теперь