5.2. Стационарность потенциальной энергии системы.
В идеально-упругой среде элементарная работа внешних сил 
равна вариации потенциальной энергии деформации. Вспомнив ее определение (1.2.13) и возвращаясь к (5.1.1), имеем
причем 
удельная потенциальная энергия деформации.
Далее принимается, что массовые и поверхностные силы потенциальны. Элементарная работа потенциальной массовой силы может быть определена соотношением
где 
— потенциальная энергия силового поля; например, в поле силы тяжести 
вектор восходящей вертикали). Поэтому
знак вариации здесь вынесен за знак интеграла, так как 
объем 
ни плотность 
в нем не варьируются,
Случай потенциального распределения поверхностных сил имеет место, когда усилие на элементарной площадке сохраняет величину и направление («мертвая нагрузка»):
Здесь 
координаты на о точки 
переходящей при деформировании в точку 
на О. Поскольку вектор 
остается неизменным,
причем, как выше, 
часть поверхности о, на которой заданы силы.
Другим примером поверхностных сил, которым можно сопоставить потенциал, служит равномерно распределенное по О нормальное давление. Тогда
Но по определению набла-оператора в 
-объеме
и предшествующее равенство переписывается в виде
Вариация величины 
может быть представлена в виде (VI не варьируется)
так как 
представляет единичный тензор 
-объема. Равенство (5.2.6) теперь преобразуется к ожидаемому виду
причем 
тела в деформированное состоянии.
Выражение (5.2.1) принципа возможных перемещений приобретает вид
где 
функционал над вектором перемещения и:
называемый потенциальной энергией системы (упругого тела и силового поля). Равенством (5.2.9) доказывается стационарность этого функционала: из всех мыслимых (то есть принимающих на О] наперед заданные значения) полей перемещений в состоянии равновесия идеально-упругого тела осуществляется поле перемещений, в котором потенциальная энергия системы сохраняет стационарное значение.
Напомним, что стационарным значением функционала называется такое его значение, которое при задании вектору и вариации 
приобретает приращение 
порядка более высокого, чем 
. В линейной теории упругости доказывалось (п. 2.2 гл. IV), что
так что стационарное значение функционала 
было его минимумом. В нелинейной теории столь общее утверждение не имеет места.
Замечания. 1. Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной задачи о стационарности функционала 
представляют уравнения статики в объеме и на поверхности, в которых тензор напряжений заменен его представлением через закон состояния.
Действительно, повторив преобразование п. 5.1, имеем
Элементарная работа внешних (массовых и поверхностных) сил представляется в виде (5.1.2). Приходим к соотношению
и вследствие произвольности 
в объеме и на той части поверхности 
на которой заданы силы, приходим к дифференциальным уравнениям
с краевыми условиями на 
и достаточно вспомнить соотношения (1.2.10), чтобы вернуться к уравнениям статики (3.3.3), (3.3.6) гл. 
Уравнения равновесия в перемещениях изотропного упругого тела приводятся к виду
Их представления через контравариантные компоненты внешних сил даются равенствами [см. (V. 2.2)]
2. В случае несжимаемого тела варьирование функционала 
проводится при добавочном условии
а удельная потенциальная энергия зависит лишь от инвариантов 
Варьируемый интеграл при введении лагранжева множителя 
принимает вид
В уравнениях равновесия в перемещениях следует заменить слагаемое
Для тела Муни они значительно упрощаются и принимают вид
Напомним, что по теореме Риччи [см. 
] производные компонент метрических тензоров выражаются через эти компоненты и символы Кристоффеля; например,
