V.2. Производные базисных векторов.

Векторы

могут быть представлены их разложениями по базисным векторам. Эти разложения можно записать в виде

и речь будет идти о вычислении коэффициентов этого разложения, обозначенных фигурными скобками и называемых символами Кристоффеля второго рода; другое их обозначение:

В формулах свободные индексы расположены снизу, а немой повторен один раз сверху и второй — снизу. Из самого определения следует симметрия по нижним индексам:

так что общее число символом равно 18. По имеем

Величины слева - скалярные произведения были введены в п. III. 2, это символы Кристоффеля первого рода (прямые скобки), определяемые формулами (III.2.7):

Возвращаясь к , имеем

причем вторая группа формул получена из первой с помощью (IV. 3.2).

Этим вполне определены производные векторов основного базиса. Для вычисления производных векторов взаимного базиса исходим из соотношения

Из него имеем

и, сославшись на (IV. 2.2), (IV. 2.1), найдем