1.6. Преобразование Ю. А. Круткова.

Рассматривая случай отсутствия массовых сил, представим, следуя (1.6.6) гл. I, тензор напряжений через тензор функций напряжений:

Этим тождественно удовлетворяются уравнения статики, и остается подчинить выбор зависимости Бельтрами (1.5.8). Сославшись на (1.5.2) и (1.5.6), имеем

и это позволяет записать (1.5.8) в виде

Но обращение в нуль операции над симметричным тензором означает, что этот тензор является деформацией некоторого вектора (п. 2.1 гл. II); итак,

Вместе с тем

что нетрудно проверить сложением диагональных элементов тензора [см. (II. 4.15)]. Поэтому, обозначая для сокращения письма

приходим к иной записи соотношения (1.6.4):

Вектор с можно исключить, выразив равенство следов тензоров в левой и правой частях этого соотношения; имеем

Поэтому

и вектор в скобках является ротором некоторого вектора, так что

Считая, что включен в вектор имеем теперь

и подстановка в (1.6.7) приводит к дифференциальному уравнению, содержащему только операции над тензором Ф:

Теперь выражение тензора напряжений через тензор функций напряжений, основываясь на формуле (1.5.4), можно записать в виде

или, после исключения с помощью (1.6.9), в виде

Отсюда

так что выражение тензора деформации получает следующее представление:

или

Из него с точностью до перемещения среды как твердого тела находим вектор перемещения и:

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости; ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта и дивергенции тензора Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать соотношением, являющимся следствием (1.6.9).