3.6. Кручение стержня эллиптического сечения.

Контуром поперечного сечения является эллипс

и функция напряжений обращающаяся в нуль на может быть представлена в виде

Остается подобрать постоянную А так, чтобы удовлетворялось уравнение Пуассона (3.1.8):

Теперь находим

Максимальное касательное напряжение имеет место на контуре в концах малой полуоси — в точках контура ближайших к центру сечения; при оно равно

Траектории касательных напряжений представляются семейством эллипсов, подобных и подобно расположенных контурному эллипсу сгущающихся в области, примыкающей к концу полуоси Вектор касательного напряжения имеет направление касательной к эллипсу семейства, проходящего через рассматриваемую точку в сторону вращения от оси х к оси у [см. знаки в формулах (3.6.3)].

Далее имеем

и по (3.2.6), отбрасывая аддитивную постоянную, находим депланацию

Линии определяющие рельеф поперечного сечения скручиваемого стержня, представляют семейства гипербол как представлено на рис. 29, воспроизводимом из мемуара Сен-Венана.

Геометрическая жесткость при кручении, вычисляемая по формуле (3.4.3), оказывается равной

где моменты инерции поперечного сечения, полярный момент инерции.

В случае круглого поперечного сечения депланация отсутствует, а жесткость при кручении равна полярному моменту инерции. Сен-Венан первый указал на ошибочность отождествления геометрической жесткости при кручении с полярным моментом инерции (Кулон) для стержней с поперечным сечением, отличным от кругового.

Рис. 29.