3.15. Удлиненные профили.

Далее будет использована координатная система, в которой задается опорная кривая положение точки на которой задается дугой о (криволинейной абсциссой), отсчитываемой вдоль от начальной точки Вектор-радиус точки на опорной кривой, единичный вектор касательной к ней в этой точке и единичный вектор нормали (направленной в сторону, противоположную центру кривизны, — противоположно главной нормали) обозначаются так что

где кривизна (рис. 33).

Положение любой точки профиля сечения задается криволинейными координатами , где отсчитывается по той нормали к опорной кривой в точке на которой расположена точка поэтому вектор-радиус этой точки определен равенством

так что по (3.15.1)

Коэффициенты Ляме и элемент площади в системе координат равны

Выражения лапласиана и градиента над скаляром записываются в виде [см. (III. 5.5), (III. 3.8)]

Минимизируемый в задаче кручения функционал (3.13.5) представляется в виде

причем предположено, что область, занимаемая профилем сечения, определена неравенствами

1. Сектор тонкого кругового кольца. Для тонкого сектора со средним радиусом центральным углом и толщиной 26

примем, следуя способу Л. В. Канторовича,

Тогда

причем отброшены слагаемые порядка и более высокого. Пришли к вариационной задаче, для которой уравнение Эйлера записывается, как известно, в виде

так что

Естественно, что в рассматриваемом приближении (пренебрежение кривизной) решение повторяет (3.14.4). Геометрическая жесткость по (3.14.5) будет

При (разрезанное круговое кольцо) получаем

тогда как жесткость целого кольца равна

так что

2. Симметричный авиационный профиль. Ограничивающие эту область, симметричную относительно кривые, задаваемые уравнениями (рис. 34)

касаются в начале координат оси у и пересекают ось х в точках

Предполагается также, что производная непрерывна и обращается в промежутке (0,1) в нуль один раз при величина определяет хорду профиля, - его толщину; предполагается, что а (тонкий профиль). Перечисленным условиям удовлетворяют кривые

причем Например, полукубической параболе соответствует ; задание определяет эллипс с осями — большой и малой а и с центром в точке

Рис. 34.

Опорной кривой является ось х, и минимизируемый интеграл может быть представлен в виде

где малый параметр. Ограничимся заданием функции обращающейся в нуль на контуре области, в простейшей форме;

где А — подлежащая определению постоянная. Приходим к соотношению

и по условию минимума получаем

Оценка снизу геометрической жесткости ирньолиг к выражению

Оценку сверху можно получить, минимизируя интеграл (3.13.10), записываемый в виде

Минимизирующая функция назначается в виде

причем внесение линейного слагаемого соответствует переносу начала координат в наперед неизвестную точку на оси х. Параметры определяются по условиям минимума. Не останавливаясь на этом громоздком вычислении, подробно проведенном в работе Лейбензона, приведем выражение жесткости в случае полукубической параболы:

тогда как

— приближение достаточно точное для длинного и узкого профиля.