2.12. Однородные решения.

Уточнение базирующихся на применении принципа Сен-Венана решений задач о прямоугольной полосе и круговом брусе может быть достигнуто наложением на них «однородных решений» — решений, оставляющих продольные края полосы (боковые поверхности бруса) свободными от нагружения. В задаче о круговом цилиндре (п. 7.8 гл. V) они были использованы с целью уточнить выполнение краевых условий на торцах. Здесь подобное построение проводится в применении к прямоугольной полосе, его можно повторить и в случае кругового бруса.

Задаваясь функциями напряжений вида (2.4.3):

и требуя обращения в нуль напряжений на краях полосы придем к системам уравнений

Далее рассматривается экспоненциальное задание функций так что дифференцирование их по эквивалентно умножению на постоянный множитель

Теперь в системах уравнений (2.12.2) надо заменить на и принять функции

пропорциональными Нетривиальные решения этих систем существуют при значениях параметра обращающих в нуль их определители. Это приводит к рассмотрению трансцендентных уравнений

и позволяет представить выражения (2.12.3) в виде

Приходим к следующим выражениям функций напряжений, оставляющих продольные края полосы свободными от нагружения:

причем Конечно, теперь легко записать формулы для напряжений. При этом системы напряжений в любом поперечном сечении стержня будут статически эквивалентны нулю. Достаточно проверить, что в задаче А обращаются в нуль продольная сила

а в задаче поперечная сила и изгибающий момент

Все корни уравнений (2.12.4), исключая тривиальные (нулевые), оказываются комплексными; они располагаются в четырех квадрантах комплексной плоскости у симметрично относительно начала координат: если у — корень, то корнями являются также числа Функции напряжений, определяемые формулами (2.12.5), — комплексные; но по ним, конечно, легко составить вещественные функции напряжений. Этим путем приходим к представлению однородных решений — напряженных состояний, оставляющих продольные стороны полосы свободными от нагружения и статически эквивалентных нулю в любом ее поперечном сечении.

В приведенной табл. 13 указаны удвоенные значения первых пяти корней уравнений (2.12.4), расположенных в первом

Таблица 13 (см. скан)

квадранте плоскости у. Вещественные части этих корней быстро возрастают вместе с номером корня; поэтому напряжения, пропорциональные, что нетрудно сообразить, будут весьма быстро убывать по мере удаления от краев полосы — надо брать корни второго квадранта при построении решений, относящихся к краю и первого — к краю Этим подтверждается приемлемость принципа Сен-Венана для узкой и длинной полосы.

Было предложено несколько приемов использования однородных решений для выполнения краевых условий на поперечных сторонах полосы. Ни один из них не дает строгого решения этой задачи — точного выполнения краевых условий общего вида по два на каждом из краев (левом и правом). Наиболее простой прием выполнения краевых условий «в среднем» описан в п. 7.9 гл. V. Выполнение краевых условий в ряде наперед выбираемых точек поперечной стороны затруднительно вследствие знакопеременности однородных решений, тем более частой, чем выше номер соответствующего взятому решению корня.