7.10. Представление решений уравнений Саусвелла.

Уравнения (7.9.6) переписываются в виде

или, короче,

где записанные выше дифференциальные операторы. Представляя одно из частных решений этой системы в виде

определим операторы дифференцирования как решения однородной системы двух уравнений (7.10.2) для Подстановка в эти уравнения дает

и с точностью до общего множителя

Как следовало ожидать, представляет алгебраическое дополнение элемента определителя

Теперь, подставив выражения (7.10.3) искомых функций в первое уравнение системы (7.10.2), придем к дифференциальному уравнению для

Аналогично записываются решения систем уравнений (7.10.2) для и для

и подстановка в остающееся уравнение и соответственно приводит к дифференциальным уравнениям этого же вида (7.10.5). Итак,

Остается записать общее решение

причем выражение справа представляет определитель (7.10.4), в котором соответствующий столбец заменен столбцом например,

В применении к системе (7.10.1) это вычисление приводит к следующему представлению решений:

причем введены обозначения дифференциальных операторов

а дифференциальные уравнения (7.10.6) для функций записываются в виде

Найденное представление решения можно существенно упростить, приняв

и определив соотношениями

Тогда по (7.10.10)

Решение (7.10.8) теперь представлено суммой вектора с равным нулю ротором и соленоидального вектора Первый выражен через бигармонический скаляр второй — через соленоидальный вектор Частные решения, соответствующие этим слагаемым, записываются в виде

Им соответствуют выражения объемных расширений и линейных векторов поворота

и, сославшись на (7.10.11) — (7.10.13), несложно проверить, что

исходные уравнения (7.9.6) удовлетворены.

Отметим еще, что при когда состояние -объема на туральное (он совпадает с -объемом), по (7.9.4), (7.9.7)

Теперь, введя в рассмотрение вектор можно записать решение (7.10.8) в виде

причем согласно - бигармонический вектор. Пришли к решению уравнения теории упругости (1.7.4) гл. IV в форме Буссинека — Галеркина.