III.4, Дифференцирование базисных векторов.
Проведение операций векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах усложняется необходимостью учета изменяемости векторного базиса 
обязательно знание выражений производных этих векторов по координатам 
Представив формулы (III. 3.1) в виде
имеем по (III. 2.7)
Учитывая, что левая часть этого соотношения представляется в виде
приходим к равенству
Его правая часть равна нулю при 
и меняет знак при перемене 
местами; так и должно быть, поскольку
Итак, матрица скалярных произведений 
фиксировано)
кососимметрична и для ее задания достаточно трех чисел 
представимых в виде
(суммирование 
Введя теперь в рассмотрение векторы
имеем
Таково выражение сопутствующего матрице (III. 4.3) вектора о. Выражение ее компонент по (III. 4.4) и (1.4.6) записывается в виде
так что
Это — искомые формулы дифференцирования базисных векторов (деривационные формулы). По (III. 4.5) они записываются также в виде
Формулы (III.4.7) допускают кинематическую интерпретацию, известную под наименованием «метод подвижного триэдра-». Пусть вершина 
триэдра базисных векторов 
движется с единичной скоростью 
по координатной линии 
так что 
(здесь 
время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы 
должны иметь направления касательных к координатным линиям в точке 
Поэтому движение этой точки сопровождается вращением триэдра вокруг нее, вектор угловой скорости этого вращения назовем о. По известной формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных векторов 
относительно вершины триэдра при этом будут равны
откуда сравнением с (III.4.7) находим
Часто вектор о можно найти без вычисления, основываясь на этом кинематическом истолковании.
