4.3. Знак удельной потенциальной энергии деформации.

Далее рассматривается «упрощенный» закон состояния Синьорини с постоянной ее удержание привело бы к значительному усложнению последующих рассмотрений. Теперь по (4.1.9),

причем входящая в это выражение аддитивная постоянная определена условием, что когда деформация отсутствует (при

Упрощенный закон Синьорини содержит, подобно закону Гука линейной теории, две постоянные но существенно отличается от него не только заменой линейного тензора деформации тензором , но и вхождением подчеркнутых в формуле (4.3.1) слагаемых.

Требуется установить область изменения параметров в которой удельная потенциальная энергия деформации А положительна в любом состоянии, отличном от натурального (при любых положительных . Необходимые условия (2.9.7) гарантируют положительность А лишь при малых деформациях (при близких к 3 и к 1); рассмотрение более трудной задачи построения критериев положительности А при любых деформациях требует оценки при заданном Обозначив через главные значения меры деформации имеем

Но известно, что произведение нескольких положительных чисел с заданной суммой достигает максимума, когда эти числа равны, так что

Имея в виду, что

можно усилить предыдущее неравенство:

В частности, при причем знак равенства достигается только в натуральном состоянии, так что условие

приводит к уже известному критерию

Входящие в выражение (4.3.2) слагаемые представляются теперь в виде

и поэтому

Слагаемое в квадратных скобках по (4.3.3) неотрицательно, и достаточным условием положительности А служит неравенство

Критерии (4.3.6), (4.3.4), гарантирующие положительность удельной потенциальной энергии деформации А во всей области главных относительных удлинений — главных значений тензора деформации повышают иижнюю границу (2.9.7) значений параметра вместо Этого уменьшения области допустимых параметров можно было ожидать, поскольку необходимый критерий (2.9.7) обеспечивает положительность А только при достаточно малых

С помощью величины связанной с соотношением

определяющим в линейной теории коэффициент Пуассона, критерий (4.3.6) записывается в виде

так что может изменяться в пределах