VI.3. Решения ...

Известно, что знание одного частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка позволяет свести к квадратуре задачу разыскания его второго частного решения. В применении к уравнению Лежандра (VI. 1.5), называя его линейно независимые (с отличным от нуля вронскианом решения через имеем

далее,

Выбирая надлежащим образом постоянные и принимая из этого соотношения находим второе решение уравнения Лежандра — функцию Лежандра второго рода

Это решение обращается в нуль при точки являются его особыми логарифмическими точками, так что

представляет единственное регулярное решение при полюсах сферы Путь интегрирования в выражении (VI. 3.2) предполагается идущим от по вещественной оси, и функция вещественная при

При вычисление дает

и общим представлением служит доказываемая в теории сферических функций формула

в которой полином степени определяется равенством

Аналогично определяется второе решение уравнения Лежандра (VI. 1.9) при

вещественное на всей вещественной оси и обращающееся в нуль при Его выражения для имеют вид

а общее представление будет

Исходя из представлений

можно доказать, что при

Отметим еще выражения вронскианов, непосредственно следующие из представлений (VI. 3.2), (VI. 3.6):

При решения уравнений (VI. 1.5), (VI. 1.9) - функции, присоединенные к определяются равенствами

причем может принимать любые целочисленные значения. В частности, например,

и можно доказать, что в общем случае при

где полиномы степени не выше, чем Этим построена одна система решений уравнений Лежандра для туп. Вторая может быть определена теперь соотношением (VI. 3.1); ее назовем и соответственно

с надлежащим выбором постоянных. Таким образом, получим решения