2.3. Пример. Температурное поле.

Деформация отдельно взятого изотропного кубика в температурном поле представляется известным выражением

где а — коэффициент линейного температурного расширения. В сплошном теле такая деформация возможна при выполнении условия (2.1.5):

Итак,

Учитывая еще, что

имеем теперь

Условиями осуществимости деформации в сплошном теле по закону (2.3.1) оказались требования равенства нулю всех вторых производных 0 по координатам, так что 0 представляет линейную функцию координат. Принимая имеем

где постоянный вектор.

Вектор перемещения найдем, подставив это выражение в формулу Чезаро (2.2.5). Отбросив перемещение среды как твердого тела, получим

и в окончательном виде

При законе распределения температуры по объему тела, отличном от линейного, свободное температурное расширение по закону (2.3.1) не может иметь места. На тензор надо наложить компенсирующий тензор такой, чтобы при деформации

удовлетворялось условие совместности

Было бы ошибкой думать, что вектор перемещения и теперь можно представить геометрической суммой векторов определяемых условиями

так как тензоры взятые по отдельности, не удовлетворяют условиям совместности и лекторы не существуют.